基于Laplace变换与模式搜索法改进的GM（2，1）模型

周振国　张宇阳

【摘 要】通过查阅相关的资料了解到GM（2，1）模型主要存在的缺陷是强行定义边界以及紧邻均值序列预测公式和累加生成序列预测公式相互混淆。针对GM（2，1）模型存在的这两大缺陷提出相应的改进措施；同时对传统的GM（2，1）模型中求解白化方程的方法进行了改进，提出利用Laplace变换求解白化方程，这样可以省去对微分方程的特征值进行分类判断的繁琐步骤。在MATLAB上进行的数值试验表明改进后的GM（2，1）模型可以提高预测精度。

【关键词】GM（2，1）；Laplace变换；模式搜索法；MATLAB

The Improved GM（2，1） Model Based on the Laplace Transform and Pattern Search Method

ZHOU Zhen-Guo ZHANG Yu-Yang

（College of Science， China University of Petroleum， Qingdao Shandong 266580， China）

【Abstract】Through accessing to large amounts of papers， we found that the two main shortcomings existed of GM（2，1）model are definiting borders unreasonably and garble about the prediction formulas of 1-IAGO and 1-AGO. We focus on the two shortcomings above and propose appropriate measures for improvement.Meanwhile we improve the method， used in solving albino equations of the traditional GM（2，1） model， and raise a new way that solve the same equations by Laplace transform.In this way， we can bypass those tedious steps to classify and judge the eigenvalues of ordinary differential equations（ODE）. After the numerical experiments we did in MATLAB， we can show that improved GM（2，1） model prossesses a high accuracy.

【Key words】GM（2，1）； Laplace Transform； Pattern Search Method； MATLAB

0 引言

GM（2，1）模型作为灰色理论系统的重要组成部分以其较高的精度以及在中长期预测中的优势而被应用在实际生产生活中的很多方面，但是在实际应用中GM（2，1）模型的精度有时候并不能达到人们所要求的精度，因此改进GM（2，1）模型是很有必要的。文献[1]指出GM（2，1）模型存在的缺陷，本文提出有针对性的改进措施，同时提出利用Laplace变换求解常微分方程来简化模型。

1 Laplace变换以及模式搜索法简介

Laplace变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个关于实数t（t≥0）的函数通过关系式■e■f（t）dt（式中st为自然对数底e的指数）转换为一个关于复数s函数。对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中做运算，再将运算结果作拉氏逆变换求得实数域中的相应结果，往往比在实数域中求得同样的结果容易得多。因为其显著的优点，在工程中有广泛的使用。

模式搜索法在计算时不需要目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的的函数的优化问题时十分有效，模式搜索就是寻找一系列的点，这些点都越来越靠近最优值点，当搜索进行到终止条件时则将最后一个点作为本次搜索的解。在求解最优化问题有较好的效果。

2 传统GM（2，1）的构造原理及一般步骤

为了方便使用Laplace变换，我们设定序列的下标都是从0开始的。

5 数值实验

为了验证本文改进的GM（2，1）模型对预测精度的提高，选取两个实例建立GM（2，1）模型，比较其与传统GM（2，1）模型和文献[3]所给出的基于最小二乘法改进模型以及文献[2]所给出的基于加权组合和最小二乘法改进的GM（2，1）模型的预测精度。

由上述两个数值试验可以看出虽然在少数的点上本文提出的方法的精度不及其他方法，但总体平均误差本文提出的改进方法是占上风的，因此该方法是有效的而且可靠的。

6 结论

本文参考已有的对GM（2，1）模型改进的文献，提出了利用Laplace变换以及模式搜索法来对GM（2，1）模型的缺陷进行改进的方法，省去了在求解白化微分方程中的繁琐过程，数值试验也表明本文所提出的改进方法能够提高预测精度。

【参考文献】

[1]赵新蕖，陈红林.GM（2，1）模型预测公式的改进研究[J].武汉理工大学学报，2006，28（10）.

[2]牛思先，陈鹏宇，苏玉刚.基于加权组合和最小二乘法改进的GM（2，1）模型[J].统计与决策，2010，22：28-30.

[3]沈继红，赵希人.利用最小二乘法改进GM（2，1）模型[J].哈尔滨工程大学学报，2001，22（4）.

[4]吴贤华.实现模式搜索法快速收敛和全域最优解的方法[J].温州师范学院学报（自然科学版），1994（6）.

[责任编辑：杨玉洁]