存在奇点的一维高阶奇异积分

孙兰香（沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001）



存在奇点的一维高阶奇异积分

孙兰香
（沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001）

摘要：文章研究实数域中奇异积分的主值问题。这是基于数学分析中对广义积分的研究作的进一步深入探讨的工作。文中定义了一维奇异积分的Cauchy主值与Hadamard主值并给出了相应的公式。

关键词：高阶奇异积分；Cauchy主值；Hadamard主值

Keywords:higher order singular integral；Cauchy principle value；Hadamard principle value

在复分析中有对复平面上奇异积分的主值研究，在实数域中也存在积分问题的研究，对收敛的广义积分可以求得其积分值，而发散的广义积分不存在积分值。这里便出现了值得探讨的新问题，即研究发散的广义积分的主值问题。

定义1设f（x）定义于（a，b）上，当c∊（a，b）时，称为Cauchy型积分，只要此积分存在。

定义2（Hölder条件）设f（x）定义于（a，b）上，若存在常数A，使得对于任意的两点x1，x2∊（a，b），恒有（0

定理1（一阶奇异积分的柯西主值存在的充分条件）若f（x）∊Ca（a，b），c（a，b），则存在，且

证明：因为

上式右端第二项与第四项之和为：

而右端的第一项与第三项可以如下证明其存在：因为f（x）∊Ca（a，b），由Hölder条件，

知

当ɛ→0+时是与ɛ无关的常数，而

此极限一般不存在。

定义3设f（x）∊C1，a（a，b），则二阶奇异积分的 Hadamard主值为

定理2：设f（x）∊C1，a（a，b）（表示f（x）与f（n-1）（x）在（a，b）上都满足Hölder条件），c∊（a，b），则高阶奇异积分的Hadamard主值为：

我们还可以将奇点位于区间内部的高阶奇异积分的Hadamard主值继续推广，讨论奇点位于区间边界处的奇异积分的Hadamard主值。

上式中的第一项极限存在，第二项为常数。但第三项可能不存在。可见单边一阶奇异积分的柯西主值不一定存在，我们删去引起积分发散的项，即可得到一阶单边积分的Hadamard主值。

定义4设f（x）∊ca（a，b），则奇异积分的Hadamard主值为：

只要重复多次使用分部积分法，把引起积分发散的项一概删去，即可得到单边高阶奇异积分主值。

定理3：设函数f（x）∊Cn-1，a（a，b），单边高阶奇异积分主值为：

联系前面高阶奇异积分与以上单边奇异积分易得以下定理：

定理4：设函数f（x）∊Cn-1，a（a，b），c∊（a，b），则：

其中左端理解为高阶奇异积分，右端为单边高阶奇异积分。

数学分析对发散的广义积分的研究以判断出其发散为终止，而问题到此并未圆满结束，主值问题的提出正是为广义积分的研究开拓了新的思路，有其不容忽视的作用。

参考文献

［1］路见可.解析函数边值问题［M］.上海科学技术出版社，1987.

［2］李子植.函数论的边值问题［M］.河北大学出版社，2000.

［3］高红亚.二维高阶奇异积分［J］.宁夏大学学报，1996.

［4］高红亚.多奇点二维高阶奇异积分［J］.河北省科学院学报，1996.

［5］高红亚.无界域上的高阶奇异积分与推广留数定理［J］.河北省科学院学报，1996.

Abstrat:This paper studies the problem of principal value of singular integrals in real number field.This is the improvement research based on the study of generalized integralof Mathematical Analysis.The definitions of Cauchy principal value and Hadamard principal value ofone-dimensional singular integral are obtained，and the formulas are given.

中图分类号：O17

文献标志码：A

文章编号：2096-000X（2016）12-0258-02

作者简介：孙兰香（1969，3-），女，汉族，籍贯：河北海兴，职称：副教授，学位：硕士，研究方向：基础数学。