为何要学习因式分解

叶军

在学习“因式分解”时，不少同学总是不明白“为什么”要学习因式分解；学会了的同学大多只是记住了分解的步骤，“知其然而不知其所以然”，甚至过一段时间就会忘记.种种困惑，其实是对这一部分内容没有透彻的理解.本文采用“自问自答”的形式，对因式分解的相关内容作一点剖析，希望对初学者有所帮助.

1. 如何区别因式分解和整式乘法？

一般地，多项式有两种表示形式：和的形式、积的形式.如果用“项链”比作和的形式，那么不妨也用“磁铁”来表示积的形式.借助于以上比喻，整式乘法是把多项式算成“项链”，而因式分解需要算成“磁铁”的形式.

因式分解是整式的一种恒等变形，其涉及的运算有：加减法和乘法，其基本原理是基于分配律的逆用.因此，因式分解是整式乘法的逆过程.它们有如下的区别：

（1） 运算的结果形式不同.因式分解要求多项式化成整式之积的形式；而整式的乘法要求结果是单项式的和的形式.

（2） 所用方法不同.整式乘法是基于分配律的乘法运算，由此可以得出一系列重要的公式，比如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，等等.这些公式可以极大地简化运算步骤，提高效率.因式分解是基于分配律的逆用，采用的方法较多，最基本的有提取公因式法、公式法（公式又有很多）等等.这些方法，都是后人为了使得分解进行下去而总结提炼的结果，如果多掌握一点，可以提高运算的效率，领略代数计算的魅力.

（3） 适用范围不同.理论上讲，不管多复杂的整式的乘法运算，都可以得到最后的“和的形式”.但对于因式分解，不是任何多项式都可以因式分解的.不能分解的多项式，叫作“不可约多项式”，一次多项式就不能再分解了，因此所有的一次多项式都是不可约多项式，比如x+y，a-b+1等.初中阶段更多地关注含有一个字母的二次多项式可不可以分解，其一般形式为ax2+bx+c，一般地，我们可以用根的判别式Δ=b2-4ac的符号进行判定：如果Δ≥0，则ax2+bx+c可以在实数范围内分解；如果Δ<0，则不可以在实数范围内分解.这里，“在实数范围内分解”，或“在有理数范围内分解”的意思是：分解后的因式的系数是实数或有理数.在不同的学习阶段，因式分解的要求有所不同，比如初一刚学习因式分解，我们还不认识有理数之外的无理数，因此可以分解x2-4，x2-x-2这样的多项式，诸如x2-3，x2-x-1这样的式子则不能分解.但是到了初二，认识了无理数之后，x2-3，x2-x-1又可以分解了.到了初三，我们就能很明白，为何x2-x+2不能因式分解.我们看一个例子.

（作者单位：江苏省南京师大附中江宁分校）