再议重积分计算中积分限的确定

赵娟　管梅

【摘 要】在高等数学教学中，重积分的计算是教学重点亦是难点。而在重积分的计算中积分限的确定是关键，文中结合笔者的教学体会讨论重积分计算中积分限的确定问题。鉴于初学者易将积分限为变数的情形误当做积分限为常数的情况，文中重点讨论了积分区域为何种形状时，二次或者三次积分的各积分限才能都取常数。文中所做讨论的结果若为初学者借鉴，可有效避免在重积分的计算中出错。

【关键词】重积分；二次积分；三次积分；积分限；积分区域

【Abstract】In the teaching of higher mathematics， the calculation of the integral is both the focus and difficult points. And the integral limit is the key in the calculation of the integral. The paper combines the authors teaching experience to discuss the problem of the determination of the integral limit. In view of the fact that the beginners to limit integral variable error as the limit of integral constant. In this paper focuses on the regional integral why shape， two or three points of the integral limit to are taking a constant. The results discussed in this paper can be used for reference for beginners， which can effectively avoid the error in the calculation of the multiple integrals.

【Key words】Multiple integrals； Second-order integration； Triple integrals； Integral limit； Integral domain

0 引言

在高等数学教学中，二重积分和三重积分的计算是教学的重点和难点，而在重积分的计算中积分限的确定是一个尤为关键的问题。许多教师从不同方面总结了积分限确定的技巧和学生学习中容易犯的错误[1-3]。针对直角坐标系下二重积分计算中积分限的确定问题，笔者已将教学经验总结为一首口诀[4]，事实证明可以有效帮助初学者确定二重积分计算中积分限的确定。但是笔者发现对于二重积分的极坐标系下的计算以及三重积分的柱面和球面坐标系下的计算，很多初学者在确定积分限时经常容易犯一些错误。其中最容易犯的错误在于总是将积分限为变数的情形误认为积分限为常数的情形。在此，笔者将积分限为常数的情况作总结如下，并指出初学者易犯的错误，以期所做讨论的结果为初学者借鉴，从而在重积分计算过程中对于积分限的确定有一个明确的思路。

1 重积分计算中确定积分限时容易出现的几类错误

重积分计算时，对于直角坐标系下积分限为常数的情形大部分同学掌握很好，但是对于极坐标下二重积分积分限的确定，以及柱面坐标和球面坐标下的三重积分积分限的确定很多同学经常会把积分限为变数的情形错误地写作积分限为常数，特举例说明如下。

1.1 极坐标系下二重积分计算的情形

2 重积分化为累次积分时积分限确定的相关结论

2.1 极坐标变换下二重积分计算的结论

2.2 柱面坐标变换下三重积分计算的结论

通过上述讨论，初学者首先应该掌握什么情况下运用柱面坐标变换计算三重积分，然后要掌握三重积分化为三次积分时积分顺序通常是先对z，再对r，最后对θ积分。最会要清楚，只有当积分区域为圆柱面和平面所围成立体，且该立体在某一坐标面投影为圆心在原点的圆或者扇形、圆环时，所得三次积分的积分限才均为常数。

2.3 球面坐标变换下三重积分计算的结论

利用球面坐标变换求三重积分，初学者首先应该掌握什么情况下运用球面坐标变换计算三重积分，然后要掌握三重积分化为三次积分时积分顺序通常是先对ρ，再对θ，最后对φ积分。最会要清楚，只有当积分区域为球心在坐标原点的球面所围立体或者一部分时，所得三次积分的积分限才均为常数。

3 结束语

文中结合教学经验，剖析了在极坐标、柱面坐标以及球面坐标变换下，将二重积分和三重积分化为累次积分时积分限的确定过程中初学者容易出现的错误，主要是容易将积分限为变数的情形误写为积分限为常数的情形。通过总结初学者在重积分计算中常犯错误的并给出正确解法和有关结论，可以有效帮助初学者走出重积分计算的误区，起到事半功倍的效果。

【参考文献】

[1]陈凤德，陈柳娟，吕书龙.从错误题解谈二重积分极坐标变换的积分限安排[J].福建教育学院学报，2015（4）：118-119.

[2]孙爱珍，陈希.浅谈三重积分积分限的确定[J].科技信息，2008（14）：80-82.

[3]张波.“穿线法”技巧在高等数学重积分计算中的应用[J].文理导航，2014（7）：21-22.

[4]赵娟，刘敏，宁群.二重积分计算中积分限的确定[J].宿州学院学报，2007，22（4）：83-85.

[5]陈秀，张霞.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2011：213.

[6]陈秀，张霞.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2011：112-115.

[责任编辑：杨玉洁]