0做除数有意义0做除数有意义

孔繁盛 王运贞

【摘要】0能不能做除数，在数学教科书里总是把它说成“0做除数无意义”而被处以“死刑”.科技发展到21世纪的今天，这个古老而又基本的数学问题，是应到了该解决的时候了.我认为应把0从“0做除数无意义”中解放出来，这对于人类从理论上，从客观上认识宇宙，具有很重要的意义.经过我多年的探索和论证，将“0做除数有意义”的结论和想法写出来，诚心与各界人士切磋，以求为祖国的数学事业的发展尽微薄之力.

【关键词】“0” 做除数；有意义；超限数论；∝ 是个数 参加四则运算

根据我多年的教学经验，我认为无论是从代数、几何，还是从物理、化学、哲学的角度考虑，0是能做除数的.现在我把我的结论和想法写出来，来和大家一起磋商和研讨这个问题.

结论：00=∝∝=1（宇宙）.

推论：1.∝A=∝ （无限） A∝（无限）=0.

2.A0=∝ （有限），0A=0.

想法：

1.我认为我的结论是宇宙间的一条公理.如果是公理，那么只能公认，不能证明.所以我这里用了“想法”这个词，意思是说明这不算是什么论证，只算是一种论理.

2.我这里说的0，即为宇宙间的任意点，意义是无限小，他存在而不可达.我这里所说的∝ ，即为宇宙间无穷点的全体，意义是无穷大，它存在而不可越.这正好说明了宇宙的存在，并且只有一个.他是一个从无限小到无穷大的对立统一体.而我们正好生活在比0大而又比∝ 小的相对空间里.不管将来我们的文明人类（甚至多少个文明类联合起来）从意念中认识到多大的宇宙空间，但这个空间同整个浩瀚宇宙比起来，仍然是极小的一部分.公式A∝（无限）=0就说明了这个问题.不管将来我们的文明人类在意念中认识了多么小的微观世界，例如遗传基因，但它的体积同无限小的0相比，仍然是无穷大.公式A0=∝就说明了这个问题.有人把探明基因的结构比喻成登上月球，那么我们什么时候才能登上质子，登上电子呢？比电子更小的物质微粒又是什么呢？我看不管人类是向宏观世界进军，还是向微观世界进军，其难度都是一样大的，他都决定于科技的发展与进步.

3.00=∝∝=1（宇宙）与AA=1及其推论的关系：对于00=∝∝=1（宇宙），无论是从0→∝ 不可越，还是从∝→0不可达，他都说明宇宙只有一个，并且宇宙是没有中心的，也是没有边缘的，这是绝对的.而AA=1 和推论都是相对的，是既可达又可越的.例如前面说的A∝（无限）=0，这里的A代表了多大的宇宙空间数字啊！但它和浩瀚宇宙相比，其结果仍然为0.这说明我们在0点里，可达.而公式A0=∝（有限），这里的A代表了多小的微渺空间微数啊！但它和无限小的0相比，其结果仍然是∝（有限）.这说明我们在∝（有限）之外，可越.

4.我相信00=∝∝=1（宇宙）及其推論与初等数学的运算规律和高等数学的运算规律不会相矛盾.但我清楚地认识到，0做除数以后，特别是∝也作为一个数参加到数学运算中去，一定会给运算带来一些新的问题，但这也不用怕，只要做一些新规定就可以了，问题总会解决的.我曾想把∝规定成一个最大自然数，成不成，看大家认可不认可.这里最重要的是：0仍然是一个中性数.应承认0﹡∝=1（宇宙）即0和∝互为倒数.

我们再来看结论00=∝∝=1（宇宙）.既然0和∝都是数，那么它们和其他数A也有共同的属性，那就是任何两个相同的数相除都等于1.只不过这里的1，从0和∝ 的定义看，也只能是宇宙1.这也是两个特殊数的特殊性造成的，这是绝对的.再来看推论：1.∝A=∝（无限），A0=∝（有限）；2.A∝（无限）=0，0A=0.由∝A=∝（个）得0=A∞=1∞（个） 即0﹡∝（个）=1.∵这里的∝是无限∝，根据0﹡∝=1（宇宙），∴∝（个）也是无限无穷.可看出，绝对无穷被一个常量去除，其结果仍然是一个绝对无穷.我们把∝A=∝（个）化成∝=A ﹡∝（个），可看出，任何一个常量与一个绝对无穷的积等于一个绝对无穷.由A0=∝（个），可看出任何一个常量除以0，都等于一个相对无穷.我们把A0=∝（个） 化成A=0﹡∝（个）可看出，任何一个常量都等于0与一个相对无穷的积.例如，我们设a、b是任意两个不同的实数，令A=︱a-b︱，则A0=︱a-b︱/0=∝（个），这和数轴上a与b之间有无穷个实数，而这无穷个实数又正好与a与b之间所表示的线段上的无穷个点形成一一对应的关系，完全统一，完全一致.如图.（关于什么是绝对无穷，什么是相对无穷，请看我的第二篇论文《论“超限数论”的理论基础》）关于A∝（无限）=0，我在想法2和想法3里已作了阐述.对于0A=0，大家一看便知，这里就不再细说了.

以上所谈，我们可以看出，不管是结论还是推论，对于0和∞这两个数参与数的四则运算，与初等数学运算规律和高等数学运算规律都不矛盾，并且是统一的，一致的.

5.从00=∝∝=1（宇宙）还可以看出，不论是0→∝还是∝→0都是表示的点，而这些点又都是表示的数.所以，只要我们在宇宙间建立一个数轴，或一个什么数标系，在规定上长度单位（这很重要），那么宇宙间的任何点与我们意念中的什么数都能建立一一对应的关系.即点和点表示的数都有它特定的位置.从自然数、实数、复数、到三维向量空间，这一数的发展过程，不正说明了这个道理吗？看来，数只有和点和形相结合，才是完美的完整的数学.

6.说到这里，我要给“超限数论”提一个标准.我看了2000年4月19日河北出版的《初中生周报》第二版“伽利略的难题”（看后面复印件）一文后，深有感触，说康托尔抓住了“关键”——“一一对应”.1，2，3，…与12，22，32…真的一一对应吗？同样多吗？在数学里的一一对应，其意义有二，下面我以实数与数轴上的点一一对应为例来说明.

意义其一，实数是个无穷集，实数在实际生活中有它的特定意义，或表示长度，或表示面积、重量等.所以实数是数，有数的特定意义和性质.

意义其二，数轴本身是一条直线，数轴上的点，是另一个无穷集.所以数轴和数轴上的点是表示几何意义和性质的.

显然，数学里描述的一一对应的两个无穷集，其意义和性质是完全不同的，是数与形的结合.

问题就出在这里，再来看1，2，3…与12，22，32…它们都属于同一属性的自然数集合，这样搞一一对应显然是错误的.这里我再讲一个与本文有关的故事：我1963年入邢台市一中上高中，其间，我曾与数学老师宋成宾发生过一段争论.宋在我的作业本上画了两条长短不等的线段说：“你说这两条线段，那条线段上的点多.”我立即回答：“长线段上的点多.”宋说：“我说一样多.你看，我在这儿找一光点，射这两条线段，如图，这不是一样多吗？” 我想了一下：“你那样找光点，如果我用一束平行光线垂直照射，如图，那么多余的部分应怎样解释呢？”宋老师无言答对，最后我落了个“钻死牛角尖”.为什么你用一种方法找到了一种“一一对应”关系，而我用同样的方法否定了你的“一一对应”关系.你找到的就应承认，而我找到的，有道理也不认可.最后用“只要找到就行”，硬把理夺去呢？现在看来，问题的“关键”还在“标准”.因为比较的两条线段，都是由点组成的，属于同一属性的几何点集.我们不能把这部分无穷点集与那部分无穷点集搞“一一对应”.

那么能不能比较1，2，3…与12，22，32…； 与 的多少大小呢？答案是：肯定能.标准只有一个，数学里的一一对应.要比较1，2，3…与12，22，32…的多少，就把它们置于数轴之上，看它们在相同的数域里，谁的数多.显然，在数轴的正半轴上，不管把数域扩展多远，在同样大的数域里，表示自然数的点总比表示平方数的点多得多.所以我们毫不客气地说：“1，2，3…比12，22，32…多.”同样我们把 和 也放在数轴上任何部位，都可以看出，线段a表示的数域要比线段b表示的数域小的多.数域小，与数对应的点就少；数域大，与数对应的点就多.所以，线段a上的点要比线段b上的点少.我们给这种比较法起个名字，叫做“数域比较法”.看来，“超限数论”的研究必须把数与形结合起来，否则，将不是一门完美的数学.

对于“数域比较法”，我想其基本内容应当有四点.其一，要比较两条线段上含点的多少，要把它们放在数轴上，用实数域去比较.其二，要比较两块面积里含点多少，要把它们放在平面直角坐标系里，用实数对（或复数域）去比较.其三，要比较两块体积里含点的多少，要把它们放在空间直角坐标系中，用三个有序实数组（或三位向量域）来比较.其四，要比较一块体积，一块面积，一条直线之间谁含点的多少，那将是一个更加复杂，更加困难的数学方法问题.说复杂困难 ，意思是说应承认0能做除数.对这四个基本内容，我想应写一本书，来专门阐述它.为了加深读者对数域比较法和0与∝参与数学运算的理解，请看我的第二篇论文《论“超限数论”的理论基础》.

7.由00=∝∝=1（宇宙）推想到的：既然宇宙是一个从0→∝的对立统一体，那么宇宙间的物质就应是从无限小的微粒到无限大的粒体构成.“无限小”和“无限大”怎样理解，这应由天文学家、物理学家和化学家来推断，来定义.而浩瀚的宇宙就应是这些大小不同、性质不一的物质粒体的物质实体.且不说这些大小不同的物质粒体其本身性质的区别和它们之间的联系，但可恳切地说，它们都有一个共同的属性，那就是运动.也正是有了这些运动的物质，才出现了各种形式的能，才形成了这個活生生客观存在的过去宇宙，现代宇宙和未来宇宙.宇宙间的一切现象和存在，都是物质运动的结果.光、电、声、磁、场、星体、星云、“以太”等，无不是物质运动的结果.没有物质的运动，就没有我们居住的地球，也没有现在这个生机勃勃的世界.更没有我们现代的文明人类.如果说生命是物质的高级运动，那么文明是物质的超级运动.先有物质，后有精神.精神是物质的超级运动，是后天形成的.我们惊呼：物质万岁！唯物论万岁！没有物质和物质的运动就没有一切！

8.结语：0能不能做除数，在数学教科书里总是把它说成“0做除数无意义”而被处以“死刑”.科技发展到21世纪的今天，这个古老而又基本的数学问题，是应到了该解决的时候了.我认为应把0从“0做除数无意义”中解放出来.这对于人类从理论上，从客观上认识宇宙，具有很重要的意义.数是人类对客观世界的抽象，反过来，他也反映和揭示了客观世界.我认为我想的写的是真理.“真理哪怕只见到一线我们也不能让它的光辉变得暗淡.”可是自己的科技水平、数学水平有限，本文一般都是在自然数或正数范围内阐述的，只是一个框架.因此，我诚心希望贵刊贵报能全文发表我的稿文，引起争鸣.好让广大的教师、数学界、科技界一起来法难，来充实完善，来认可.以求得祖国数学事业的发展，人类科技的进步.