论数学中的统一美

祁玉海

【摘要】罗素说：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美”.马克思说：“社会的进步就是人类对美的追求的结晶”.数学是自然科学的语言，它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上都具有自身的某种美，即所谓的数学美.数学美是具体的、形象的、生动的.数学美包括数学的简洁美、数学的和谐美和数学的奇异美三个方面，数学的统一美是简洁美的集中体现.本文将结合几个简单的实例，谈谈关于数学统一美的一些浅显的见识.

【关键词】数学 统一美

将数学作为一个有机的统一体的观念贯穿了整个数学的发展，寻求不同数学理论之间的内在统一性是现代数学家孜孜以求的目标之一.英国著名的数学家阿蒂亚曾有论断：“经过半个世纪的急剧专业化发展，核心数学家在发现不同部分之间深层联系的基础上正经历一次重新统一的复兴.”从较早的笛卡尔将几何与代数统一于坐标系开始，数学一直在追求更高层次，更高阶段的统一.

数学在近代的发展是一部不断产生新的理论，不断产生新的分支，不断与其他学科交融而形成交叉学科的历史.从牛顿和莱布尼茨创立微积分开始，之后就开始出现无数的新兴的分支和理论，比如说：非欧几何、集合论、拓补学、数理逻辑等.据统计，在数学学科的核心范围内，已经有将近100种可以辨认的分科.如此之多的数学分支，各个分支又是相当地高深广博，数学的统一性又是如何体现呢？其实数学的统一性不仅仅表现在统一的数学符号和共同的数学语言，更表现在其内在的本质联系.

1.欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何在高斯曲率的观点下统一成一种几何.

高斯证明了：

若曲面S上每一点的高斯曲率均为定实数k，在S上任作一个测地三角形，其三个内角分别为α1，α2，α3，测地三角形面积为E，则有

α1+α2+α3=π+kE或E=1k（α1+α2+α3-π）

k值决定曲率曲面S上的几何学：

k>0所得的几何是黎曼几何学；

k=0所得的几何是欧几里得几何学；

k<0所得的几何是罗巴切夫斯基几何学.

另外，从射影几何的角度用线段交比去定义线段长度和角的大小，也可以得到与前面类似的结论，即三种几何只不过是因某个参数k的符号不同而不同罢了.由此，三种几何都具有相对的真理性，即它们只在一定的范围内才可正确地描述物质空间的某些现象.综上所述有下表：

几何体系

3.球、球缺、球台、柱体、椎体、台体等立体几何体的体积公式可统一到拟柱体体积公式.

V=h6S1+S2+4S0拟柱体体积 V球=43πr3V球缺=πh2r-h3V球台=两球缺之差V柱体=ShV椎体=13ShV台体=h3S1+S2+S1S2

上面的拟柱体公式又和统筹方法中的“三时估计法”具有类同的表达形式：

t=16a+b+4m

其中t为完成工作时间，a为完成工作的保守时间，b为完成工作的最乐观时间，m为完成工作的最可能时间.

4.概率分布问题中，负指数分布、正态分布、确定性分布统一在k阶埃尔朗分布中.

k阶埃尔朗分布的概率密度为

bk（t）=kμ（kμt）k-1（k-1）！e-kμt（t≥0，μ>0）.

当k=1时，为负指数分布；当k≥30时为正态分布；当k→∞时为确定型分布.

5.牛顿-莱布尼茨公式 ∫baf（x）dx=F（b）-F（a）展现了微积分内部几大运算：微分、不定积分、定积分之间强大的内在联系.三者统一于这个公式之中.几个看似毫无关系的东西，它们的诞生为的也是不同的数学目的，最初解决的也是不同方面的问题，最后居然能联系起来，能统一计算.牛顿-莱布尼茨公式使得原来通过求黎曼和的极限的困难运算一下子变得简单了.而正式这样的统一，推进了微积分的发展.

6.第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、三重积分统一在斯托克斯公式中.

斯托克斯公式∮cPdx+Qdy+Rdz=sdydzxP dxdzyQ dxdyzR

=sRy-Qzdydz+Pz-Rxdzdx+Qx-Pydxdy

DQx-Pydxdy=∮ΓPdx+QdyΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=ΩPx+Qy+RzdxdydzΣPdydz+Qdxdz+Rdxdy=ΣPcosα+Qcosβ+Rcosγdσ∫cPdx+Qdy+Rdz=∫cPcosα+Qcosβ+Rcosγds

7.牛顿-莱布尼茨公式与格林公式的统一

牛顿-莱布尼茨公式 ∫baf′（x）dx=f（b）-f（a）指出，函数f′（x）在区间[a，b]的定积分等于被积函数f′（x）的原函数f（x）在区间[a，b]端点（或边界上）的值的差.若将在[a，b]上连续的一元函数f（x）看成是在矩形区域D=[a，b]×c，d上连续的二元函数，则由格林公式DQx-Pydxdy=∮ΓPdx+Qdy

有Df′（x）dxdy=∫Cf（x）dx

即∫baf′（x）dx=f（b）-f（a）.从这个意义上说，格林公式是牛顿-莱布尼茨公式在二维空间的推广.

数学是人们所有的特殊认识工具和符号语言，如同人的物质工具一样，但它以最纯粹的形式体现了人的认识的主观能动性.这种认识能动性，从哲学上看，又仍然是人类实践能动性的高度抽象化的反映.从而数学的统一性，在最根本的意义上，无疑是来自于抽象化了的实践活动（劳动操作）的统一性与普遍必然性.也正因为数学具有如此深刻的实践根基，才可能在人类的社会進程中发挥出如开篇所述的巨大力量来.

【参考文献】

[1]吴振奎.数学中的美.上海教育出版社.2004.

[2]袁向东.数学的统一美.大连理工大学出版社.2009.

[3]黄秦安.数学哲学与数学文化.陕西师范大学出版社，1999.

[4]刘云章.数学符号学概论.安徽教育出版社 1993.

[5]刘玉琏.数学分析讲义.高等教育出版社.2008.