几何问题 抓住“点”

李菁菁 高明

【摘要】 在许多几何问题中都涉及特殊点，如圆周上的切点，角平分线上的点，线段的中点等.当求解含有这些特殊点的问题时，试着从这些“点”入手，把握住“点”的特征，根据已知条件作相应的辅助线，从而寻找解题的突破口，利于解决几何问题.

【关键词】几何问题；特殊点；辅助线

在几何问题中常存在一些“点”，这里的“点”指的是如中点，圆心，切点等特殊点.在解决这类几何问题时，关键是要抓住这些点的特征，根据点的性质以及已知条件，适当地作一些辅助线，寻找有利于解题的信息，从而使问题得到解决.下面，本文举例说明.

例1 （2015全国初中数学联赛初赛4）如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中点，∠DEM=35°，则∠B的大小是（ ）.

A.100° B.110° C.120° D.125°

解析 由題可知∠BEM=90°-∠DEM=55°，而若不作辅助线，仅利用已知的边角关系，此题不易解，要注意到，题中存在BC的中点M，则不妨取AD的中点N，并连接MN交ED于F点，得右图.因为点M，N分别为BC、AD的中点，所以MN平行且等于AB、CD.根据条件易证F为ED中点，且有∠AED=∠NFD=∠MFE=∠MFD=90°，又因为EF=DF，可证得△MFE≌△MFD（SAS），故∠FME=∠FMD.由BC=2AB且M是BC的中点可得MN=ND=DC=CM，则可证得△DMN≌△DMC（SSS），所以有∠FMD=∠CMD.故∠FME=∠FMD=∠CMD=∠MFE-∠DEM=55°，从而∠EMB=180°-3∠FME=15°，所以∠B=180°-（∠BEM+∠EMB）=110°，所以答案选B.

评注 在几何问题中常有涉及中点、三等分点等等分点的问题，它们不仅能将线段分成相等的几个部分，还能与一些点构成特殊角，所以在遇到等分点时，通常需过该点作辅助线，从而形成利于解题的边角关系.

例2 如图，在等腰三角形ABC中，以底边AB的中点O为圆心作半圆，与两腰相切于P，Q.在PQ上任意取一点D，过D作圆O的切线交两腰于M，N.求证：AM与BN的乘积为定值.

解析 要证明AM与BN的乘积为定值，则该定值一定与等腰三角形的边有联系，且AM与BN分别在△OMA与△NOB中，则要利用已知条件来寻找这两个三角形的关系.此题存在切点，则可先将切点与圆心连接起来（见右图），以便于寻找利于解题的信息.因为∠A=∠B，且∠APO=∠OQB=90°，所以可得∠1=∠6.又因为OP=OD，∠MPO=∠MDO=90°，所以

Rt△MOP≌Rt△MOD（HL），则可得∠2=∠3，同理可得Rt△DON≌Rt△QON，则∠4=∠5.因为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，所以∠1+∠2+∠5=90°.又因为∠5+∠ONB=90°，所以可得∠1+∠2=∠ONB，即∠AOM=∠ONB，故△OMA≈△NOB，从而有AMAO=BOBN，则

AM·BN=AO·BO=AB22，即证得AM与BN的乘积为定值.

例3 （2015四川省初中数学联赛13节选）如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠DBE=90°，A，B，D三点在同一直线上.∠BCD的平分线CF与∠CBD的平分线BF交于点F，过点F作FG⊥DC，垂足为G.求证：AD=CD+2FG.

解析 最终要求证的等式中有FG，则要与点F发生联系，由于点F是CF与BF的交点，且CF与BF分别为∠BCD与∠CBD的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，则不妨过点F分别作BC与BD的垂线，垂足分别为H、K，得右图.因为FG⊥DC，所以可知FG=FH，易证Rt△CFH≌Rt△CFG，所以有CH=CG.根据条件易证四边形HBKF为正方形，则有HB=BK=KF=FH.因为∠FKD=∠FGD=90°，且KF=FH=FG，所以有Rt△DFK≌Rt△DFG，故DK=DG，则AD=AB+BD=CB+BK+KD=CH+HB+FG+GD=CG+FG+FG+GD=CD+2FG.