汉森理论中的音高材料分类

20世纪，尤其是在上半叶，无论在美国的专业音乐还是公共音乐事业的发展中，霍华德·汉森（Howard Hanson，1896-1981）都是一位不容忽视的人物，他为“美国音乐”的形成和发展做出了巨大贡献。

作为曾获得罗马大奖（1921年）和普利策奖（1944年）的作曲家，霍华德·汉森一生致力于美国音乐的发展，创作了百余部作品，引领了当时创作美国本土音乐的潮流。他的创作理念和理论研究成果是支持他创作的根源，对后人影响深远，可以说，他的理论对于整个作曲技术理论的发展都起到了启发和承接作用。

一、汉森理论

1960年，汉森的理论著作《现代音乐中的音高材料—十二平均律资源》①（以下简称《音高材料》）出版，其中全面阐释了他的作曲技术理论理念，被称为汉森（音高）理论，为后来的音级集合理论提供了基础，也为创作十二平均律音阶或近似平均律音阶范围内有调性和无调性的自由写作技术提供了总的音高材料库，在20世纪的作曲理论史中是不可忽视的理论著作。

“汉森理论”实则是将平均律音阶中的十二个音之间的组合按照从简单到复杂的映射②顺序进行整合，计算出222个音高组合材料的较为完整的音高材料资源库。该理论打破了传统的思维方式，重新确立了新的观念和逻辑。

在汉森理论中，音组（sonority）是其基本概念，表示音与音的组合，包括纵向排列的和声和横向排列的旋律，等同于音级集合理论的pc集合。Sonority指音响，汉森用该词来表示同时发声的两个以上的音高组合，简称音组。每一个音组都有其表示的构成式和音程分析式。音程分析式相当于音级集合中的向量，以基本音程p、m、n、s、d、t的顺序排列，p表示纯五度及其转位的纯四度，m表示大三度和小六度，n表示小三度和大六度，s表示大二度和小七度，d表示小二度和大七度，t表示三全音（增四度或减五度），上方标记数字以表现该音组中包含某音程的数量。例如七音组C2D2E2#F1G2A2B③的音程分析式为p6m3n4s5d2t表示该音组包含6个纯五度（或纯四度），3个大三度（或小六度），4个小三度（或大六度），5个大二度（或小七度），2个小二度（或大七度）和2个三全音（1x2）。该音组在音级集合中称为“7-35”，在汉森理论中，该音组的构成式为p6，表示该音组由纯五度经过6次映射所得，p6也是该音组的名称。而有一部分音组有几个构成式，也即该音组可以采用不同的映射法获得。

在汉森理论中，所有音高组合材料的排列顺序并非音级集合理论中集合原型的顺序，而是在基数相同的情况下，根据映射所得到的音组的先后进行排列，这样的排列有利于理解所有音高组合的计算来源，同时相邻音组具有一定的音程关联性。

二、汉森理论中的音组分类

将这222种音高组合材料进行分类是一件极其复杂的事情，甚至有人认为并不可行。在汉森理论中，就像管理图书馆里不同类别的图书一样将这些音组根据映射方法进行了整理，这对于音乐创作来说无疑具有使用价值，尤其对于如何选择音高材料是一种行之有效的方法。

众所周知，兴德米特理论是将这些音组材料按照非传统的思维方法进行整合的音高组合理论，该理论把所有的音高组合材料（和弦）按照是否含有三全音分为两部分，按照是否含有小二度再度进行分类，最终分为六组，通过各和弦的紧张度进行排序来获得整体和弦关系的对比和统一。虽然这种分类法对于创作来说较为琐碎、自由，更趋于在宏观上的把握，但理论说服力已被世人接受。音级集合理论与兴德米特理论研究的材料相同，借用数学的计算方法将音高材料按照基数的不同进行分类。该理论重点阐述各集合（音组）间的关系，在音组分类上泼墨不多。

汉森理论的研究对象同样是这些音高材料，对所有音组按照映射方法进行梳理的过程便是获得音组分类的依据。该理论从音程的角度对所有音组进行观察，从音程属性入手对各音组的性质进行分析和计算。音程属性，即六种基本音程所表现出来的各有特色的音响性质。音组属性，是指根据各种基本音程的数量比例所形成的音程属性综合体。在汉森理论中隐藏着诸多分类方法，具体说来，有以下三种：

第一种：汉森的理论著作《音高材料》将这些音组按照单音程映射、三音组映射、两音程组合映射、对合映射等顺序分为四种映射方法，也即分为四类。在单音程映射中，由六个基本音程进行叠加映射所获得了音组最具该音程的特性；三音组映射是以3为基数的音组基础上进行该音组结构的叠加映射，获得的音组最具该音组的音程属性特点；两音程组合映射是在某一音上分别映射两个基本音程，再结合的方法，获得的音组具有这两种音程属性特点；对合映射是以某音为轴向上、下两个方向进行映射叠加的方法，所获得的音组与映射的音程有关。通过这四种映射法获得的音组间有重合的音组，说明该音组同时具有不同的音程属性。

第二种：根据各音组的基数（即由几个音组成）分为2-12音音组（理论中只列出2-10音组），这与音级集合理论相似。

第三种：也是汉森的重要分类方法，即根据各音组中音程属性将各基数组的音组分成了六类或七类。汉森认为，在一个音组中，含有两个以上的音程并且同时发音时，必定有一种、两种、三种或四种音程占据主导地位，如在50个六音组中，有26个音组以一种音程占据主导地位；12个音组以两种音程占主导地位；6个音组以三种音程同时占据主导地位；6个音组以四种音程同时主导，因此，汉森根据各音组的主导音程将所有的音组进行了分类。在2-4音音组和8-10音音组中，每个基数的音组都以六种基本音程为依据分为六组，或者说这六组中的音组都是具有该音程最强烈属性的，如29个四音组中（1）C-D-G-A（p3，p3ns2，4-23）④、（2）C2D2E3G（p2s2，p2mns2，4-22）⑤、（3）C4E3G2A（p/n，p2mn2s，4-26）、（4）C2D5G4B（p2m ，p2mnsd，4-14）⑥和（5）C4E3G4B（p/m，p2m2nd，4-20）⑦这5个音组是四音组中具有纯五度音程属性最突出的音组，或者说这些音组具有纯五度音程属性倾向，笔者称之为纯五度属性类（6）d3（ns2d3，4-1）、（7）d2s2（mns2d2，4-2）、（8）d/n（mn2sd2，4-3）、（9）d2m （pmnsd2，4-4）和（10）d/m（pm2nd2，4-7），这5个音组是最具有小二度音程属性特点或倾向的音组，称之为小二度属性类；（11）s3（m2s3t，4-21）、（12）s2n （pmns2d，4-11）和（13）s/n（pn2s2d，4-10）3个音组是最具有大二度音程属性特点或倾向的音组，称之为大二度属性类；（14）n3（n4t2，4-28）、（15）n2p （pmn2st，4-27）、（16）n2d （mn2sdt，4-12）、（17）n2s

（pn2sdt，4-13）、（18）n2m （pmn2dt，4-18）和（19）n/m（pm2n2d，4-17）6个音组是具有小三度音程属性最突出或具有小三度属性倾向的音组，称之为小三度属性类；（20）m3（pm3nd，4-19）、（21）m2s2（m3s2t，4-24）2个四音组是最具大三度音程属性特点和倾向的音组，称之为大三度属性类；（22）p/t（p2d2t2，4-9）、（23）m/t（m2s2t2，4-25）、（24、25）pmnsdt（pmnsdt，4-z15，4-z29）、（26）p2d （p2msdt，4-16）、（27）p/d（p2md2t，4-8）、（28）p2d2（p2sd2t，4-6）和（29）d2p （pmsd2t，4-5）7个音组为具有三全音音程属性和倾向的音组，称之为三全音属性类。虽然在音级集合理论中从向量可以看出哪些音程占据优势，但该集合的构成关系却并不能明确表现出来，这也是汉森理论有别于音级集合理论的地方。

在基数为5-7的音组则分为七组，除了具有六种音程属性的六组外还有一组是其中具有四种或五种音程属性相同数量的音组。如基数为5的音组共38个，除类似于四音组的六组外，还有一组五音组：（1）↑p2d2↓（p2m2n2s2d2，5-11）、（2）p2n2（p2m2n2sd2t，5-z18）和（3）n2s2↑↓（p2mn2s2d2t，5-z12），这3个音组中有5项音程数量相同，无法判断哪一种音程占据主要地位的音组，也难以划分在以上六组中的任何一组，因此，这三个音组具有了一种折中的属性，而没有倾向性，称之为多音程属性类。

根据音程属性进行分类的方法在理论上是行得通的，但其音响效果要根据排列的密集程度、音区、重复音等等形式才可能得以清晰呈示。就音组的属性来说，也许在某种程度上对于音乐创作可以提供对比和统一的依据，同时也为分析作品中音高材料的使用情况具有一定的帮助作用。

以上分类方式在汉森的《音高材料》附录“十二平均律音阶中的音组映射及相互关系表”中用虚线有所表示，这种分类法为我们从音程本身出发思考创作的问题提供了参考，也提示我们从音乐本身寻找相互关联的可能性。

基金项目：

本文为2015河南省教育厅人文社会科学研究项目资助《十二平均律资源中的音组关系——霍华德·汉森理论研究》青年项目，项目批准号：2015-QN-440。

注释：

①见参考文献[1]，笔者将“Haimonic Materials”翻译为“音高组合材料”，以便与传统和声概念分开，简称“音高材料”。

②映射（Projection），指音阶或和弦按照同样的逻辑进行叠加或重复所构成音组的方式。映射包括单向和双向映射、单音程和多音程映射等方式。映射是该理论最为重要的音组构成方法。参见参考文献[2]第二章第二节。

③数字表示该音组中各音之间的半音数。

④“p3”为构成式，“p3ns2”为音程分析式，“4-23”为音级集合名称。

⑤构成式p2s2是在某音上叠加两次纯五度，再在该音上叠加两次大二度的结合，如（C-G-D）+（C-D-E）=C-D-E-G。

⑥构成式p2m 是以某音为基础向上下两个反向进行纯五度映射，如以G为基础，（G-D）+（G-C）+（G-B）=C-D-G-B。

⑦构成式p/m是在基础音上构成纯五度，在上方大三度上再构成纯五度，得到（C-G）+（E-B）= C-E-G-B。

参考文献：

[1]Howrd Hanson.Haimonic Materials 0f Modern Music[M].New York：Appleton Centery Crofts，Inc.1960.

[2]王丹.霍华德·汉森音高理论研究[D].南京：南京艺术学院，2014年.

[3]王丹.音高材料库——霍华德·汉森理论中的十二平均律资源[J].南京艺术学院学报（音乐与表演版），2013，（03）.

[4][德]兴德米特著.作曲技法（理论篇）[J].罗忠镕译.北京：人民音乐出版社，1990.

[5][美]阿伦·福特著.无调性的音乐结构[M].罗忠镕译.上海：上海音乐出版社，2009.