不等式在解物理问题中的应用

华峰

有些物理问题看起来似乎条件不足，难以入手求解.其实此类问题常常可以根据题意列出不等式，进而便可顺利求解.下面举例分析，希望学生能够从中受到有益的启示.

一、求解力学问题

图1例1 如图1所示，某人站在到公路垂直距离为d=50 m的A点，发现公路上B点有一辆客车以v=8.48 m/s的速度沿公路匀速前进，人与车相距s=100 m，人奔跑的速度v′=6 m/s.则人要赶上客车应朝哪个方向奔跑才行？

解析 由图1示可知sinα=50100=12，所以α=30°.

设人奔跑的方向与AB连线夹角为θ，车和人到达D点所用的时间分别为t和t′，则有vtsinθ=v′t′sinα，即

tt′=v′sinθvsinα

①

人要能够赶上汽车，应有t≥t′，即

tt′≥1

②

把②带入①有：v′sinθvsinα≥1，即sinθ≥0.707，所以45°≤θ≤135°.

例2 在光滑的水平面上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心之间的距离大于2L（比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球之间的距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿两球连线向原来静止的B球运动，如图2所示.欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件？

图2解析 A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后，A球的速度逐渐减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离继续逐渐减小，当A、B的速度相等时，两球的间距最小.若此距离大于2r，则两球不会接触，因而它们不接触的条件是：

v1=v2

L+s2-s1>2r

其中v1、v2为当两球间距离最小时，A、B两球的速度，s1、s2为两球间距离从L变到最小的过程中A、B两球通过的路程.

设v0为A球的初速度，则由动量守恒定律有：

mv0=mv1+2mv2

由功能关系有：

Fs1=-12mv20-12mv21，Fs2=12（2m）v22

联立以上各式科解得v0<3F（L-2r）m.

例3 从地面上以初速度2v0竖直向上抛出一小球A，经过Δt时间从同一点以初速度v0竖直向上抛出另一小球B.（1） 要使A、B两球能在空中相遇，Δt应满足什么条件？（2） 要使B球在上升时与A球相遇，Δt应满足什么条件？（3） 要使B球在下降时与A球相遇，Δt应满足什么条件？

解析 本题实际上是一个极值问题，但用极值求解相对困难和麻烦.若利用不等式求解则简捷、方便得多.

根据题意设在B球抛出后t时刻与A球相遇，则它们相遇的条件为：

2v0（t+Δt）-12g（t+Δt）2=v0t-12gt2，化简得

t=2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0

①

（1） 要求0

②

把①代入②，有0<2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0<2v0g，解之得2v0g<Δt<4v0g.

（2） 要满足如下条件0

③

将①代入③可解得：（1+3）v0g<Δt<4v0g.

（3） 要满足如下条件 v0g

④

把①代入④可解得：2v0g<Δt<（1+3）v0g.

当n=8时，车停止滑行，即在x<0一侧第8个沙袋扔到车上后，车就停下来.故车上共有大小沙袋3+8=11个.

图4例5 如图4所示，斜面固定在水平面上，其倾角为θ，斜面上放一个质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ.现用一水平恒力F推物体，结果无论F多大都推不动，求μ应满足的条件.

解析 由题意知不等式Fcosθ<μ （mgcosθ+Fsinθ）+mgsinθ恒成立，整理得F（cosθ-μ sinθ）

二、求解热学问题

例6 如图5所示，大小不等的两个容器被一根细的玻璃管连通，玻璃管中有一段水银柱将两容器内气体隔开（温度相同）.当玻璃管竖直放置时，大容器在上，小容器在下，水银柱刚好在玻璃管的正中间.现将两容器同时降低同样的温度，若不考虑容积的变化，则细管中水银柱的移动情况是（ ）.

A. 不动 B. 上升

C. 下降 D. 先上升后下降

解析 以液面C为研究对象，根据平衡条件有pA+ρgh=pB

假定温度降低时水银柱不移动，A、B减少的压强分别为ΔpA、ΔpB，则液柱C受到向下的压强p下=pA-ΔpA+ρgh，向上的p上=pB-ΔpB.

若ΔpA=ΔpB，则p上=p下，水银柱不移动；若ΔpA<ΔpB，则p上>p下，水银柱向下移动；若ΔpA>ΔpB，则p上

因此只要假定水银柱不动，分析气体压强的变化情况，运用不等式就可判断水银柱怎样移动.

图5 图6方法1 假定水银柱不移动，根据查理定律有pT=p-ΔpT-ΔT，化简得Δp=ΔTTp，则ΔpA=ΔTTpA，ΔpB=ΔTTpB.由于pA

方法2 假定水银柱不移动，作A、B等容变化图象，如图6所示.降低相同温度时，由图可知ΔpB>ΔpA，水银柱下降.应选C.

例7 如图7所示，有一直立的汽缸，汽缸底到缸口的距离为L0，用一厚度和质量均不计的刚性活塞A把一定质量的空气封在缸内，活塞与缸间摩擦可忽略，平衡时活塞在缸口，周围大气的压强为H0 cmHg.现把一个盛有水银的瓶子放在活塞上（瓶子的质量可以忽略不计），平衡时活塞到汽缸底的距离为L，若不是把这瓶水银放在活塞上，而是把瓶内水银缓慢地倒在活塞上方，这时活塞下移，直到其不再下移.求此时气柱的长以及与之相对应的条件（设气体的温度不变）

图7 图8解析 本题表面上看似乎与不等式没有什么关系，然而如灵活运用不等式求解，不仅给人耳目一新的感觉，而且会收到事半功倍的效果.如图8设有足够量的水银一直能够把汽缸装满，装满时水银柱长为x cm，则有

H0L0=（H0+x）（L0-x0），解之得：x=L0-H0

设瓶内水银产生的总附加压强为Δp，则有

H0L0=（H0+Δp）L，解之得：Δp=H0（L0-L）L

若0

则水银没能全部倒入缸中，解此式得：L0>H0，L

气柱长L′=L0-x=H0.

若x≥Δp，即L≥H0，水银能够全部倒入缸中，因此气柱长L′=L0.

若x≤0，即L0≤H0，水银不能倒进缸中，一定满足L0>H0.

所以最后结论为：当L 三、求解电磁学问题

例8 把一个“10 V 2.0 W”的用电器A（纯电阻）接到某一电动势与内阻都不变的电源上，用电器A实际消耗的功率是2.0 W；换上另一个“10 V 5.0 W”的用电器B（纯电阻）接到这一电源上，用电器B实际消耗的功率有没有可能反而小于2.0 W呢？如果认为不可能，试说明理由.如果认为可能，试求出用电器B实际消耗的功率小于2.0 W的条件（设电阻不随温度改变）.

解析 不可能.因为当电路的内、外电阻相等时，电源有最大输出功率，在一般情况下，对电源同一输出功率，外电阻有两个值.由题意知

用电器A的电阻RA=U2APA=1022.0Ω=50 Ω，用电器B的电阻RB=U2BPB=1025Ω=20 Ω.

当A接到电源上时，消耗的概率P1为额定功率，所以有P1=（ERA+r）2RA=2.0 W.

换为用电器B时，B消耗的功率P2=（ERB+r）2RB<2.0 W.

由上述两式可解得（取合理值）r>1010Ω，E>（10+21-） V.

图9例9 如图9所示，一个半径为R的光滑半圆固定在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个质量为m的带正电小球，从半球顶由静止沿左侧滑下且始终未脱离球面，求其电量的最小值.

解析 小球始终未脱离球面的条件是N≥0恒成立.设某时刻小球重力与所受洛仑兹力之间夹角为θ，则根据题意可列方程：

mgR（1-cosθ）=12mv2

①

Bqv+mgcosθ-N=mv2R

②

由①得cosθ=1-v22gR，将其代入②可得N=-3mv22R+Bqv+mg

图10

由于a=-3m2R<0，故抛物线开口向下，如图10所示.要使N≥0恒成立，必须当v=0和v=2gR时，N≥0；当v=0时，N=mg>0；当

v=2gR时，N=-2mg+Bq2gR≥0，所以q≥m2gRBR.

图11例10 如图11所示的两种电路中，电源相同，各电阻器阻值相等，各电流表的内阻相等且不能忽略不计.电流表A1、A2、A3和A4的示数分别为I1、I2、I3和I4，则下列关系式正确的是（ ）.

A. I1=I3 B. I1

C. I2=2I1 D. I2

解析 从电路图和各选项可以看出，选项A比较的是对应电阻上的电流，只要A选项的比较结果能够确定，则选项B就容易判断了.选项C是比较同一电路中干路电流与支路电流之间的关系，显然不正确；选项D是比较两电路中的总电流，这是本题的关键所在.若不采用简化的方法，比较两电路的总电阻很复杂.下面通过不等简化巧妙地进行比较.

假设A1电阻为零，并设每只电流表的内阻为rA，电源内阻为r，则由电阻串、并联知识可知（甲）、（乙）两电路的总电阻R甲>r+（rA+R2），R乙=r+R+r2，据此可知R甲>R乙.由闭合电路欧姆定律可知I2

由此可见，在求解物理问题时，常常会用到不等式.当然，不等式在求解物理问题中的应用还有很多，只要我们在学习的过程中，善于思考，勤于观察，灵活运用，就会通过解题技巧，收到好的效果.（收稿日期：2015-11-10）