杨辉三角与志最短路线

蒋明玉

同学们知道杨辉三角吗？看看蒋老师怎么介绍吧。

同学们，请仔细观察一下图1，你觉得它像什么图形？对了，它像一个用数组成的等腰三角形，

你能发现这些数之间的规律吗？其实，最本质的特征是，数1在两条腰上，而其余的数则等于其“肩”上的两个数之和，如第六层的第二个数5，就等于其“肩”上的两个数1、4的和.

这个三角我们叫杨辉三角，它出现在我国南宋数学家杨辉编著的《详解九章算法》一书中，杨辉指出这个方法出于《释锁算术》.在欧洲，这个三角被认为是法国数学家、物理学家帕斯卡首先发现的，被称为帕斯卡三角，

下面让我们在解决一些走最短路线的问题中找一找杨辉三角.

据说杨辉研究数学达到了如醉如痴的境界，他也非常喜欢和友人们一起研究数学问题.一天，他的一位友人甲邀请他一起讨论数学问题.杨辉有一张地图，如图2，地图上标明了从杨辉家（A）去友人甲家（B）的每条路线.杨辉发现地图上的好几条到友人甲家的路线都是最短的，而且都不会重复.同学们知道一共有几条最短路线吗？

想要搞清楚路线，先得确定从A点到B点的最短路线到底是多长，然后确定走的方向，为了保证不走“回头路”，只能向右或向下走.

有些同学很快找出了从A点到B点的

通过验证，我们确信这六条路线都是从A点到B点的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线.当然如果图形更复杂些，做到不重复也是很困难的.

那么，解决这样的问题是否有规律可循？让我们一起往下看.

1.看C点：从A点到C点，只有一条最短路线，同样道理，从A点到D点、从A点到E点、从A点到H点也都只有一条最短路线.

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图2.，的三条最短路线.

现在再让我们来观察图2.如果我们把图2加上对角线，再把它旋转一下，就会发现它是杨辉三角的一部分，如图3.

这样，我们就可以运用杨辉三角来解决这种问题，既简单又准确.让我们再来试一试，

图4是一个由18个相同的小等腰直角三角形拼成的平行四边形，有一只蚂蚁从A点出发，沿图上的线段爬行到曰点，请求出这样爬行的最短路线有几条，

同学们能根据杨辉三角解决这个问题吗？

我们只要对应地写出杨辉三角，就知道爬行的最短路线有20条.