提炼“一线三等角” 提升学生解题能力

王海彬

摘 要：“一线三等角”是指三个相等的角在同一条直线上所形成的基本图形，其本质是应用“一线三垂足”图形中存在的两个相似三角形及其一般性质解决实际问题，分析其图形变式“一线三等角”的存在条件和解题应用，认识“一线三等角”及其图形变式和特殊形式在初中平面几何解题中的实际应用。

关键词：一线三等角；直观体验；操作领悟；直接分离；灵活构造

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）12-061-2

一、直观体验“一线三等角”基本图形，洞察本质

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。数学家对直观包括几何直观下了定义。综合这些定义，我们认为直观要体现两点：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。直观是一种感知，一种有洞察力的定势。几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。

从“一线三等角”的特殊情况，即：三个角都是直角在同一条直线上所形成的基本图形，到三个角都是60度角，再到三个角是45度角，最后到三个角都是一般角，结论仍然成立，再放到具体的图形中，学生很快就找到了解决的方法。通过从特殊到一般的层层递进，学生对“一线三等角型”的基本图形有了一些感觉。通过图形的不断变化，让学生感受到图形之间的联系、题目之间的联系。“三垂直型”的提出是学生感到新鲜的，并将它拓展到“三角相等型”让学生感受到数学的学习从薄到厚，又从厚到薄的过程。培养学生善于归纳总結，将题目归类，会用数学思想解决问题。

二、操作领悟“一线三等角”基本图形，发展思维

《新课程标准（实验稿）》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探究与合作交流时学生学习数学地重要方式。”小学生学习数学是与具体实践活动分不开的，重视动手操作，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效途径之一。新课程的特点之一，是重视直观教学，增加了学生的实践活动和动手操作内容。为此，操作活动成了课堂教学过程中的一个重要环节。

例2 如图，已知正方形ABCD，把直角三角板的直角顶点放在边BC上的任一点E处，让直角三角板绕点E顺时针旋转，使得三角板的

直角边分别交AB、CD边于点M、N，则△MBE与△ECN之间有何关系？请说明理由。

变式：把直角三角板点E继续顺时针旋转，使得直角边分别交BA的延长线及CD边于点M、N，上述结论仍然成立吗？为什么？

在操作过程中加入变式教学有助于学生拓宽视野、加深对“一线三等角”基本图形的理解、消化；突破课堂教学的重点、难点，提高课堂教学的效益；培养学生多角度认识问题的思维习惯，激励他们创新、探究能力的发展。

三、直接分离“一线三等角”基本图形，快速解题

面对一个比较复杂的图形时，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图的一部分进行分析，从而解决问题的方法就是图形分离法。分离图形既是一种有效的解题方法，也是学生空间观念的重要组成部分。在图形教学中适当地运用“分离图形”的方法会收到事半功倍的效果，从这个意义上说，图形分离法也是一种教学方法。

能否灵活地运用“图形分离法”解题，首要前提就是看学生是否掌握基本概念，是否准确把握基本图形的特征。

在初中数学图形内容的教学中，运用“图形分离法”提高教学效果的例子不胜枚举。但应该注意到“图形分离法”的运用要适度，要有明确的目的，有时结合“图形的组合”进行训练效果会更好。

四、灵活构造“一线三等角”基本图形，提升能力

从几何图形中直接分离出基本图形，运用基本性质相对容易，而如何从几何图形中构造出基本图形进行运用，才是难点所在.为此必须先仔细观察图形、研究图形的结构特点，结合已知条件或者所求、所证的内容，才能灵活构造出能解决问题的基本图形。

例4 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=4，在AB边上取点G，现将纸片沿EG翻折，使点A落在CD边上的点F处，当AE=3时，求BG的长。

研究几何题，经常需要给图形添设辅助线，添设辅助线的实质在于构造基本图形，以便将复杂的问题化简，将隐蔽的关系明朗化，将分散的元素相对集中，从而找到一种解题途径。同时，设计基本图形的构造，有时还需配合使用联想、代换、转化等数学思想方法。

以上例子主要是提炼“一线三等角”基本图形，提升学生解题能力，我们学习几何基本知识，主要是学会抽象、分析、解决问题的依据、方法，在实际运用中逐步培养学生抽象思维、逻辑思维及推理论证的能力。而各种思维能力培养和发展的基础是基本的几何定义、定理、公理及其推论等基础知识，几何基本图形的教学在初中几何教学中有着举足轻重的地位和作用。

1.导向功能：几何基本图形具有概括性的特点，对学生由形象思维发展为抽象思维具有很强的导向功能。通过基本图形的教学，学生在记忆中形成几何图形的基本框架，这样日积月累，为学生的形象思维到抽象思维，再到逻辑思维奠定坚实的基础。

2.系统化功能：一个基本图形就代表一个知识点，由若干知识点组成一个单元知识体系。因此，只要学好了基本图形，就自然将所学几何知识分成了若干类。特别是在复习、梳理系统知识的时候，就可以用几何基本图形及相应的符号语言来将所学知识系统化，这样既直观又形象，便于学生直观形象地理解知识的联系与内涵。

3.简化功能：第一，表现形式的简单、简明化，易于学生掌握、记忆；基本图形都是用简洁明快的线条和必要的几何符号语言来表述文字内容的，因此便于学生形成“数型”结合的思想，也便于学生形象直观的理解、记忆、运用知识，从而提高学习效率。第二，运用基本图形可以将复杂图形进行分解，使之分解为若干个简单图形（基本图形），从而使解题依据更加明确，解题思路更加明晰。这样使解决问题的难度得以降低，达到“化繁为简”和快速解决问题的目的。由此可见，几何基本图形的教学在初中几何教学中有着不可低估的地位和作用。

在中考试题中，动态型问题是综合性较强的试题，经常以压轴题的形式出现，但它仍然是以平面几何图形为背景，“数形结合”是解决此类问题的关键，其中“形”的快速把握就要归功于“基本图形”的有效提炼。