贝叶斯公式的应用

摘 要：本文通过几种典型题型的探究来说明贝叶斯公式在医疗检测、产品检测、概率推理、日常生活等一系列复杂的问题中，为我们提供了更有价值、更快捷有效的决策信息，成为我们解决复杂概率问题的有效工具。

关键词：贝叶斯公式；应用；案例

1 貝叶斯公式

设试验E的样本空间为S。A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则：

P（Bi | A）=，i=1，2，…，n。称为贝叶斯公式。

2 贝叶斯公式的应用

2.1 在产品检测中的应用

例1 某汽车制造厂所用的汽车离合器是由四家不同的汽车零件制造厂提供的，根据以往的数据分析得以下数据：

已知在汽车制造厂的零件储藏室里由这四家汽车零件制造厂提供的离合器是均匀的混在一起放置的，且外观没有任何区别。

1）随机在储藏室里取一个离合器，求此离合器为次品的概率。

2）随机在储藏室里取一个离合器，若取到的离合器是一件次品，请分析此次品出自何厂的几率最大。

解：设A表示“取到的是次品”。

Bi表示“取到的产品是第i家汽车零件制造厂提供的”，i=1，2，3。

则有

1）由全概率公式：

故随机在储藏室里取一个离合器，求此离合器为次品的概率。

2）由贝叶斯公式得：

根据计算得的结果分析得，此次品出自第二家汽车零件制造厂的几率最大。

2.2 在日常生活中的应用

例2 某人下午5：30下班，他所积累的资料表明：

某一天他掷一颗骰子来决定乘地铁还是乘汽车回家，掷出骰子结果若是小的数（1，2，3），他就乘汽车，若是大的数（4，5，6），他就乘地铁，已知他是6：47到家的，求此人是乘汽车回家的概率。

解：设A表示“乘汽车”；B表示“乘地铁”；C表示“6：45-6：50到家”。

则有

由贝叶斯公式有：

故此人乘汽车回家的概率为。

2.3 在医疗检测中的应用

例3 某地被测验的居民中有0.6%是癌症患者，利用某种诊断癌症的试验来检测有如下效果：试验反应呈阳性的患病概率为0.94，而未患病且试验反应呈阴性、假阴性、假阳性的概率为0.94。若当地一名居民的试验结果呈阳性，那么该居民的患病概率有多大？

解：设事件A表示“试验结果呈阳性”；事件B表示“被试验者患有癌症”。则有：

由贝叶斯公式得：

故该居民的患病概率约为0.086。

2.4 在概率推理中的应用

例4 已知一个位于英国的发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”，由于通讯系统收到了某些信号的干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是分别以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同样，发出信号“1”时分别以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收报台收到“0”，求它没收错的概率是多少？

解：設A=“发报台发出信号‘0”，=“发报台发出信号‘1”.

B=“收报台收到信号‘0”，=“收报台收到信号‘1”.

于是，

由贝叶斯公式，得：

即收报台没收错信号的概率为0.923。

3 总结

在解决一些医疗检测、产品检测、概率推理、日常生活等一系列复杂的问题中，贝叶斯公式为我们提供了更有价值、更快捷有效的决策信息，成为我们解决复杂概率问题的有效工具。

参考文献：

[1] 王君.贝叶斯公式应用教学的一种新设计[J].新疆师范大学学报：自然科学版，2011，4（4）：71-74.

[2] 张丽，闫善文，刘亚东.全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广[J].牡丹江师范学院学报：自然科学，2006，01：15-17.

[3] 庄建红.全概率公式、贝叶斯公式的推广及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报，2003，5：48-50.

作者简介：

莫庆美（1963-），女，广西蒙山人，贺州学院副教授，主要研究方向：高等数学与微分方程教学研究。