论如何基于“热水浴”模型解决热量散失问题

李蕊杉 朱雨晨 贺婉莹

摘 要：建立了两个模型来确定出使用者可以采取的最佳策略，使浴缸中水的温度尽可能地一直保持一致并且不浪费过多的水。简单来说，第一阶段的模型解释了水的流速和水的流量之间的关系如何维持浴缸中的水温；第二阶段的模型是根据水龙头关闭时热量散失的方向来建立的，模型解释了水温降低时的热量散失等于通过水面蒸发的热量、人体吸收的热量和浴缸壁吸收的热量的总和，通过该模型就可以确定注入热水的频率。利用两个模型来计算实验结果，便可以得出在浴缸中泡澡时解决热量散失问题的最佳策略了。

关键词：“热水浴”模型；注入热水；热传导；热量散失；能量守恒定律

当你结束一天忙碌的工作后，最想做的事情是否是悠闲地泡一个热水澡呢？研究表明，一个热水澡是最原始也是效果最好的水疗。

如果你拥有的只是一个普通的浴缸，并没有维持温度的装置，往浴缸中注入热水是唯一可以维持水温的方法。

但浴缸只具有一定的容量，当水量达到极限便会从特定管道中溢出。因此，我们的目标就是在维持浴缸水温的同时阻止水的过于浪费。

1 问题分析与假设

首先，维持水温是一个重要的方面。考虑到我们使用的是传统控制器，因此我们需要预先掌握非线性和复杂控制问题的数学建模进程。

在这个阶段，我们可以使用Water-Bath system，使用过程中必须具有好的温度跟踪能力，才能在指定时间内达到所需温度，并且避免过度以及绝对误差。

另一个重要的方面是尽量避免水的浪费，因此我们的策略是使水龙头在水温降低时才开启，水温一旦达到原始温度水龙头立即关闭。

根据以上分析的考虑因素以及模型建立的依据，我们做出假设如下：

1）浴缸形状为方形，浴缸材质均衡分布；

2）注入热水的速度与温度是恒定的；

3）简化浴缸使用者的形态为圆柱体，并且忽略使用者的动作对水温造成的影响；

4）只存在浴缸壁的散热而不存在空气的边缘散热；

5）传热系数不会随水温的变化而变化。

2 计算与简述模型

2.1 系数、定义以及符号说明

2.2 详细模型与计算

2.2.1温度维持模型

模型显示了水的原始热量也就是我们需要维持的热量等于流入热水的热量加上流出的热量，因此我们需要控制水的流速和水持续流入的时间来达到维持温度的目的。

得出公式表达如下：

其中Δt2为水持续注入的时间，mw为水的质量（可通过人出去头后与浴缸之间的体积差来进行计算），并且 ΔT3与 ΔT1满足ΔT3=Ts-T0和 ΔT=T0-T1的条件。

根据公式我们可以看出每次注入的水与浴缸的体积呈正线性关系，与人的体积呈负线性关系。将初始值代入求值，得出每次注入的热水质量应为66.9kg，日常水龙头的流速为每秒0.15kg，进而得出注入热水维持的时间约为7.4分钟。

2.2.2热传递模型

模型考虑了以下三种热量传递：水面与空气之间的热传递；水与人体之间的热传递；水与浴缸壁之间的热传递。根据能量守恒定律，得出公式如下：

其中t1为使用者开始洗澡的时间，t2为开始注入热水的时间；Sp为人体接触热水的面积，Sxy为浴缸的表面积；注意φa是由通过热传导和热辐射散失的热量组成的。

根据设定的初始值我们可以计算出Δt1= 5.8172 mins，即在开始洗澡的5.8172分钟后开始注入热水。由于第一次注入热水后，浴缸表面和人体表面的温度都与初始值不同，所以第二次注入热水的时间也不再与第一次相同。

三、结语

基于以上两个模型，我们可以得出何时注入热水、注入热水的量、注入热水维持的时间等具体的值，即得出解决浴缸中水的热量散失问题的最佳策略。

但是除了文章中提到的会影响热量散失的因素之外，还存在人体在浴缸中的行动和使用者在泡澡时使用了泡泡剂等因素会影响热量的散失。

若使用者在泡澡时做出了动作，这会加剧水与空气之间的热传递，即第一次注入热水的时间会变得更短；若使用者在泡澡时使用了泡泡剂，泡泡会吸收一部分热水的热量，并且泡泡也会影响水的比热容和热传导系数，因此我们无法确定泡泡剂会对我们的模型有何影响。

参考文献：

[1] Jafar Tavoosi， et al. "A Novel Intelligent Control System Design for Water-Bath Temperature Control" Australian Journal of Basic and Applied Sciences， 5（12）： 1879-1885， 2011.

[2]Springer Netherlands，2014：1736-1736.

[3] FP Miller， AF Vandome， et al. "Specific Heat Capacity"，