走出椭圆解题的常见误区

王书爽 陈静

椭圆是圆锥曲线这一章节中最重要的内容之一，由于对其概念、性质理解不够透彻，同学们解题过程中容易产生错误，以下对一些常见错误进行剖析，帮助大家更准确地理解椭圆的概念、性质，走出解题误区.

对椭圆的第一定义理解不深，忽视定义中的限制条件

例1 若平面内动点P到两定点[F1（-3，0）、F2（3，0）]的距离之和为6，则动点P的轨迹为（ ）

A. 椭圆 B. 圆

C. 一条线段 D. 以上答案都不对

错解 根据椭圆的定义可以判断出动点P的轨迹为椭圆，选A.

解析 错解中忽视了椭圆第一定义中的限制条件：点P到两定点[F1（-3，0），F2（3，0）]的距离之和[2a>F1F2]，因为题中[PF1+PF2=6=F1F2]，所以点P的轨迹是线段[F1F2]，选C.

点拨 若[PF1+PF2=2a]，[F1F2=2c]，当[2a>2c]时，P点的轨迹是椭圆，当[2a=2c]时，P点的轨迹是线段[F1F2]，当[2a<2c]时，P点的轨迹不存在.

[对椭圆的两种标准方程混淆不清，忽视焦点位置的讨论]

例2 若椭圆C：[x2k+8+y29=1]的离心率[e=12]，求实数[k]的值.

错解 由题意得[a2=k+8，b2=9，]

[∴c2=a2-b2=k-1]，

由[e=12]得[k-1k+8=12]，

即[k=4.]

解析 从题目中的标准方程无法判断焦点是在[x]轴上还是在[y]轴上，所以必须分类讨论.

当焦点在[x]轴上时，

[a2=k+8，b2=9]，由[k-1k+8=12?k=4]，

当焦点在[y]轴上时，

[a2=9，b2=k+8]由[1-k9=12?k=-54]，

即[k=4]或[-54].

点拨 对于椭圆C：[x2m2+y2n2=1（m>0，n>0，m≠n）]，当[m>n]时，焦点在[x]轴上，当[m

点拨 椭圆[x2m2]+[y2n2]=1（m>0，n>0，m≠n）中有：-m≤x≤m，

-n≤y≤n，要特别注意椭圆方程中隐含的变量的限制范围，消元后的方程要与原方程组等价.

[在讨论直线与椭圆的位置关系中，忽视对判别式的讨论]

例5 已知椭圆C：[x24+y23=1]，经过点[P（2，2）]能否作直线[m]，使得[m]与所给椭圆交于两个不同的点[Q1]和[Q2]，且[P]为[Q1Q2]的中点？这样的直线[m]如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

错解1 假设直线[m]存在，则由题意知[m]不垂直[x]轴，可设[m]的方程为：[y-2=k（x-2）]，

设[Q1]，[Q2]的坐标分别为[（x1，y1），（x2，y2）].

由[y-2=k（x-2）x24+y23=1]

消去[y]得：

[（4k2+3）x2+16k（1-k）x+16k2-32k+4=0].

由韦达定理知：[x1+x2=16k（k-1）4k2+3]，

又[Q1Q2]的中点[P]为[（2，2）]，可得

[x1+x22=8k（k-1）4k2+3=2]，

解得[k=-34]，

[∴y-2=-34（x-2）]，即[3x+4y-14=0].

错解2 假设直线[m]存在，则由题意知[m]不垂直[x]轴，可设[m]的方程为[y-2=k（x-2）]，

设[Q1]，[Q2]的坐标分别为[（x1，y1），（x2，y2）].

则[x214+y213=1，x224+y223=1]，

两式相减得：[3（x1+x2）?（x1-x2）+4（y1+y2）?（y1-y2）=0].

[∵][Q1Q2]的中点为[P][（2，2）]，

[∴x1+x2=y1+y2=4]，

[∴y1-y2x1-x2=-34]，即[k=-34]，

[∴]直线方程为：[y-2=-34（x-2）]，

即[3x+4y-14=0].

解析 画出椭圆图形，可知P在椭圆外，显然满足条件的直线[m]不存在. 从数的角度看：

[3x+4y-14=0，x24+y23=1，]

消去[y]得：[21x2-84x+148=0]，

[∵Δ=-5376<0]，

即直线[m]与椭圆没有交点，所以不存在满足条件的直线[m].

点拨 当题目中出现“直线与椭圆交于不同的两点”这一条件时，不管是用“韦达定理”，还是用“代入相减法”解题，都不要忘了检验“[Δ>0]”.

[对椭圆的第二定义理解不深刻，照搬公式出错]

例6 动点M与定点F（3，0）的距离和它到定直线[l][∶][x=9]的距离的比为1[∶]2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

错解 由椭圆的第二定义知，F（3，0）为椭圆的一个焦点，[x=8]为对应的准线，

[∴c=3，a2c=9，?a2=27，b2=18.]

[∴]点M的轨迹方程是：[x227+y218=1]，轨迹是椭圆.

解析 由椭圆的第二定义知F与[l]是椭圆的焦点和对应的准线，但是题中的椭圆的中心不一定在原点，所以[c=3]且[a2c=9]是错误的，正解如下：

[a2c-c=9-3=6，ca=12，?c=2，a=4.]

[∴]结合图形可知椭圆的中心为（1.0）.

[∴]点M的轨迹方程是[（x-1）216+y212=1]，轨迹是椭圆.

点拨 在椭圆的中心位置无法确定时，不能直接套用焦点坐标和准线公式.

[忽视椭圆定义的几何性质及平面几何知识在解题中的应用，陷入繁杂的代数计算中]

例7 已知定点[A（4，0）]，点[B（2，2）]是椭圆[x225+y29=1]内部的一点，M是椭圆上一动点，求[MA+MB]的取值范围.

错解 欲使[MA+MB]最大或最小，考虑到动点M在椭圆上，[A（4，0）]为椭圆的右焦点，结合图形，当M是左顶点时，[MA]最大，[MA+MB]的最大值是[9+53；]当M是右顶点时，[MA]最小，[MA+MB]的最小值是[1+13].

解析 当M为左顶点时，[MA]最大，[MA+MB]不一定最大；当N为右顶点时，[MA]最小，[MA+MB]不一定最小.

正解应设左焦点为F1，

由[a2=25]知[MF1+MF2=10]，

因此[MA+MB]=[10+MB-MF1]，问题转化为求椭圆上一点到B，F1两点距离之差的最大值与最小值，连B，F1并延长交椭圆于两点，其一使[MB-MF1]最大，另一个使[MB-MF1]最小，则[MA+MB]的最大值为[10+210]，最小值为[10-210].

同学们在解椭圆相关试题时，一定要注意定义、变量范围、判别式及焦点位置等条件限制，从而有效规避错误解答.