题海拾贝 管中窥豹

过家福 张心刚

导数是高中数学限定选修课中的重要内容，是解决研究函数等问题的强有力的工具，运用导数的有关知识研究函数的性质（如单调性、极值、最值），解决与切线有关的问题，证明不等式，构造函数求变量的范围等，深受命题者青睐，成为历年各级考试或高考的热点之一，但很多同学在应用过程中经常会出现一些诸如认识上的偏差，转化能力的缺失，致使每每解题失误或得分艰难.

纵观近年来各地高考，与导数相关的内容考查力度也较大，且每每以综合题或压轴题面孔出现，难度较大本文.本文结合自己对新教材的理解、教学体会和各类型相关考题的分析研究，就几年来导数知识在考题中的常见呈现形式和破解策略进行梳理，主要归结为如下几种类型：

一、应用导数的几何意义研究曲

线的切线问题

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数y=e^x（x>O）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是

评析 本题综合程度较高，以切线为切入口，变换直线位置关系，表示所需基本量（纵坐标），运用导数作为工具进行处理，牵涉变量较多，对同学们推理运算能力要求较高.这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不容忽视，

二、应用导数的方法研究函数的极值、最值和单调区间等问题

评析 给定函数直接求给定区间上的最值和极值一般考查不多，更多的是含参数求范围问题，往往需要转化，深入理解概念。比如，若f（x）在定义域内可导，则、f'（x₀）=0只是x₀为f（x）的极值点的必要不充分条件.或者说只有在x=x₀的两侧f'（x）符号相反，x=x₀才为f（x）的极值点，而学生初学导数时往往会忽略这一点，以为一个函数有极值的条件便是导函数对应的方程有实数解.所以在学习这部分内容时，我们应该清晰概念，理解其内在联系，充分挖掘题目条件，培养严谨分析问题的思维能力.

三、应用导数的方法研究实际应用问题中的最优化问题

例3 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个项点A，B及CD的中点P处.AB=20km，BC=10km.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点0处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为ykm.

（l）按下列要求建立函数关系式：

（i）设/BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；

（2）请你选用（l）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.

评析 本小题主要考查函数最值的应用，要求针对不同变量的选取建立相应的函数模型，充分体现构建函数的多样性和灵活性，要求同学们具备较强的分析推理能力，同时对一类问题学会反思和提升.应用导数研究函数及应用问题的最值，在近几年的高考题中频频出现，这些问题都是利用导数解决生活中的优化问题，基本思维流程是：梳理题目条件→构建变量间函数关系（建模）→导数方法处理。

四、应用导数证明不等式问题、求参数范围等综合问题

例4 证明：当x>0时，有1+2x2x