一节嵌入搜索引擎设计的教学课例：平面向量的数量积

林梦蝶++张维忠

【摘要】将搜素引擎设计中的简单数学原理融于课堂教学，通过两则能够引发数学学习兴趣的时事新闻，创设触及学生生活经验的教学情景，激发学生的数学探索意识，同时拓展学生的数学视野，提高学生的数学应用能力.

【关键词】教学课例；平面向量的数量积；搜索引擎设计

数学学习过于注重理性传授，而忽略人文关怀，未将贴近学生的事物很好地融合进数学教学设计之中.因此，数学教学需要感性的情景设计、活动体验等来弥合学生的情感需求，从而提高数学教学中学生主动思维的参与程度.适宜的数学情境的创设是引导学生进入数学活动的良好开端，教学活动的设计其本身也体现了教师自身的教学智慧.1课例：平面向量的数量积

1.1创设情景

新闻一：2016年2月19日本周播出的《了不起的挑战》中，上演了一出“环境保卫战”，为了筹资出游，MC们疯狂购物，然而在沙溢的眼皮底子下，同伴的“钱包”不翼而飞，引发关注.

节目中，以“环境保卫战”为主题，六位MC本周将赴“北极”和“马尔代夫”，为了获得最佳装备，MC们来到“免税店”进行采购.需要对抗严寒或酷暑，众人纷纷出手，买棉袄、买潜水装备，什么都想买入，无奈手头“钱”太紧张.

此前，沙溢曾顺走撒贝宁的钱，遭小撒分析“案情”.但在本期节目，案情逆转，有人在“白展堂”沙溢身边下手，施展高超技法，化身新“盗圣”，这个人就是撒贝宁[1].

新闻二：2015年11月12日，美国海军罗纳德-里根号CVN-76航母战斗群在中国南海东边的菲律宾海进行实战训练.当天，里根号频繁起降超级大黄蜂舰载战机升空进行战术训练.

中美2015年11月18日围绕“中国在永兴岛部署导弹”展开激烈的隔空辩论.当地时间17日，美国国务院、参议院、众议院众口一词职责中国此举是“增强在南海的军事化”.此外，中国在奥巴马召集东南亚领导人举行会议的同时做出这一部署，更令美国恼火不已.美国国务卿克里宣称将要就此同中方进行“严肃对话”.虽然中国国防部此前已经表明“相关岛礁的防卫部署很多年前就已存在”，但美国一些政客仍固执宣称中国“傲然无视对美国曾做出的（南海非军事化）的承诺”[2].

教师：这则新闻，不知道你们是否有关注呢？

学生1：看到啦，我每天都会看一下时事新闻的.

教师：我想，肯定还是有一部分同学没有关注到，因为每个人的关注点是不同的.若是学生2她没有看到新闻一，我又知道她特别喜欢看《了不起的挑战》，我想学生2课后肯定会在手机或者电脑上搜索一下相关新闻的.

学生2：是的是的.

教师：在百度等中输入“了不起的挑战”作为关键词，出来的条目都是与之相关程度极高的新闻.搜索引擎是怎样将与《了不起的挑战》相关的信息，而不是将新闻二的相关信息呈现给我们呢？这其间的奥秘与我们今天将要学习的内容有关.在学习今天的内容之后，我们来揭示向量的数量积与搜索引擎设计之间的联系吧.

1.2复习回顾

教师：首先我们回顾一下平面向量的加减法运算.已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），

给出2a+3b，3a-4b的坐标.

学生：2a+3b=（2x1+3x2，2y1+3y2），3a-4b=（3x1-4x2，3y1-4y2）.

教师：不错！在学习过向量间的加法和减法运算后，你们认为接着会学习向量的什么运算呢？

学生：乘除法运算.

教师：很好，首先我们来解决向量间的乘法运算.

1.3导入新知

教师：在学习前面几节向量的知识的时候，我们知道向量在物理中有着重要的运用.其实向量除了与物理有着紧密的结合，在我们的购物中一样可以派上用场.

假设某人购买了x支钢笔，y支铅笔.钢笔每支价格为m元，铅笔每支价格为n元.问：购买钢笔、铅笔的总价格P是多少？若视（x，y）为数量向量，（m，n）为价格向量，此时P的意义如何[3]？

学生3：很显然，总价格为mx+ny.

教师：总价是很好计算的.但是，我们若是将其放在向量中考虑，你们可以得到什么样的发现呢？

学生4：总价格P=（x，y）·（m，n）=mx+ny，可能是这样得到的.

教师：可以看出来学生4的预习很到位.他用数量积的坐标表示来解释购买钢笔、铅笔的总价格，得到的答案与学生3是相同的，显然是合情的，但是你们觉得合理吗？第二个等号这里，左边是两个什么相乘？

学生：向量.

教师：那右边的结果是？

学生：是标量！

教师：两个向量相乘的结果是一个标量，这样的结论是否合理呢？我们同样借助物理中的知识来探讨吧.向量数量积的物理背景就是物体在力F的作用下产生位移S.即力F所做的功为W=|F||S|cosθ.（多媒体展示外力做功的动态图示）这里的功W根据你们学过的物理知识，是有方向的向量还是无方向的标量呢？

学生：标量.

学生5：|F|，|S|以及cosθ都是没有方向的标量，所以乘积W肯定也是没有方向的标量.

教师：学生5讲得很好.数学由来是一门抽象的学科，它将特殊性升华为一般性，使之更具有普遍价值.向量也是的.外力对物体做功的时候，向量力F与位移S共同作用的结果是标量W，为了体现出是F与S共同作用结果，我们令W=F·S=|F||S|cosθ.第二个等号两端有什么特点？

学生6：与刚才学生4说的其实是一样的，左边是两个向量相乘，右边是三个标量相乘.

教师：学生6说到关键的地方了，从做功的这个式子我们可以看出两个向量的乘积是？

学生：标量.

教师：我们现在将其一般化.（给出两个向量数量积的概念，及坐标表示等基本性质.）

1.4思考与探究

引导学生解决课本103页的思考以及104、106页[4]的探究.同时完成例题.笔者注重将搜索引擎的设计引入此节的教学，故省略一般无二的一些教学过程.

1.5解决情境问题

教师：学习完平面向量的数量积，现在我们来解决在课堂开始的时候提出的问题.我们先从较为简单的情况开始讨论.考虑新闻一和二中的实词A与B，我们计算一下它们的单文本词汇率/逆文本频率值TF/IDF（可以简单地理解为出现的频率），按照这些实词在词汇表的位置对他们的TF/IDF值排序：

单词编号[]汉字词[]TF/IDF值（新闻一）[]TF/IDF值（新闻二）[BHDWG6mm]1[]A[]x1[]y1

2[]B[]x2[]y2

那么这两个数组组成2个向量，即设实词A与B在新闻一与二中出现的次数分别组成向量a=（x1，x2），b=（y1，y2）.我们就用这个两个向量分别来代表这两篇新闻，从而成为新闻的特征向量（或者说代表向量）.从而可以计算它们夹角的余弦值

cosθ=x1y1+x2y2x21+x22·y21+y22，

cosθ越接近与1，则代表两则新闻相关程度越高；越接近于0则代表两则新闻相关程度越低，此时学生2搜索新闻一时，新闻二的内容就不会出来了.所以，当代表两则新闻的两个向量的夹角的余弦值等于1时，这两则新闻完全重复（用这个方法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦值接近于1时，两则新闻相似，从而可以归为一类；夹角的余弦值越小，两则新闻越不相关.

再假设新闻中有3个实词，那么在新闻一、二中出现的次数组成的向量可以分别写成？

学生7：a=（x1，x2，x3），b=（y1，y2，y3）.

教师：那我们请学生7上来把这种情况下两个向量夹角的余弦值写出来吧.

学生7：（板书）

cosθ=〈a，b〉|a||b|=x1y1+x2y2+x3y3x21+x22+x23·y21+y22+y23

教师：你们是这样的吗？

学生：是的.

教师：一则新闻可能不止有两三个实词而已，假设有n个实词，那么你们可以写出这种情况下的，n个实词分别在两则新闻里出现的次数组成的向量a，b的夹角的余弦值吗？在草稿纸上写出来.

学生：（在草稿纸上写出来）

cosθ=〈a，b〉|a||b|=x1y1+x2y2+…+xnynx21+x22+…+x2n·y21+y22+…+y2n.

1.6教师总结

向量是具有非凡的应用价值的，在数学中可以解决平面、立体几何中的繁杂问题.在物理中的运用，你们已经有所了解了.其次，在搜索引擎的设计中，向量也是功不可没的.2课例简析

数学知识在教材之中往往呈现出一种高冷美，它往往是基于数学家们正确地计算、证明后得到的逻辑无误的知识体系，力求简洁完美.但这总是给学生带来疏远感，从而失去学习兴趣或动力.数学教师的作用便是起承转合，将数学知识出现时、应用时的生动活泼、蜿蜒曲折在教学之中体现出来，将数学知识最本真的发展、运用展现给学生，让学生感受数学知识的基础性和应用性[5].

同时知识用于“为学”，而智慧用于“为道”，这也是《老子》中的思想.数学知识是对科学规律的抽象概括，数学智慧则是对现实问题的具体解决.因此，数学学习要充分增强学生的内生驱动力，发挥其主观能动性，教师也要考虑学生的认知基础，挖掘有益于激发学生数学学习兴趣的因素，使学生主动构建数学知识结构，掌握数学知识，形成数学智慧，真正发挥数学的育人价值.

参考文献

[1]http：//www.chinanews.com/yl/2016/02-19/7764192.shtml

[2]http：//www.chinanews.com/mil/2016/02-19/7764252.shtml

[3]许利群.新课标理念下“平面向量数量积”的教学设计与反思[J].数学教学通讯，2006（12）

[4]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4[M].北京：人民教育出版社，2007：103-107

[5]张维忠.基于课程标准的数学教学研究[M].杭州：浙江大学出版社，2013：73-74