分数阶微分方程边值问题的Picard’s迭代方法

孙宇锋，曾广钊

(韶关学院数学与统计学院, 中国 韶关　512005)



分数阶微分方程边值问题的Picard’s迭代方法

孙宇锋*，曾广钊

(韶关学院数学与统计学院, 中国 韶关512005)

摘要从分数阶微分方程边值问题的近似解出发，应用Picard’s迭代方法证明了其存在唯一解；研究了非线性函数f(t;x(t),x′(t))由一个函数序列{fm(t;x(t),x′(t))}近似代替时，边值问题解的Picard’s迭代序列满足的形式及其存在唯一解的充要条件；讨论了这类边值问题不考虑近似解以及非线性函数Lipschitz类的因素时，其解的一般性存在条件；最后通过两个数值算例验证了这类边值问题解的存在性以及解与其迭代序列的误差估计.

关键词分数阶微分方程；迭代方法；近似解；误差估计

本文在文献[1～7]的基础上，讨论基于Caputo’s分数导数的一类分数阶微分方程的边值问题, 并通过其近似解的Picard’s迭代序列，得到相应的解的存在性和唯一性定理.

考虑如下分数阶微分方程的边值问题

(1)

1预备知识

这一节给出Caputo’s分数导数和Riemann-Liouville分数积分的定义(见文献[8])以及几个概念和引理.

定义1设 h(t)∈C1([0,1],R+)，则下面积分

称为h(t)的Riemann-Liouville分数积分, 这里Γ(α)是Γ-函数，α∈R+.

定义2设h(t)∈C1([0,1],R+)，则h(t)的α阶Caputo’s分数导数由下式定义：

这里n=[α]+1，α∈R+.

定义3一个函数x(t)称为(1)的解. 如果 ①x(t)∈C1([0,1],R+)， ②x(t)满足(1)的条件，③ 方程 (1) 对于t∈[0,1] 成立.

引理1[4]若x(t)∈Rα，则x(t) 是(1)的解的充要条件是

引理2[4]对于格林(Green’s)函数G(t,s)，下列不等式成立

定义4一个函数z(t) 称为边值问题(1)的近似解, 如果存在ε>0使得

并且，下面条件成立z(0)+z′(0)=0,z(1)+z′(1)=0.

由引理1可知, 近似解z(t)可以被表示成

(2)

容易验证，对于x(t)∈Rα, 如下定义范数‖x‖，则Rα是 Banach空间.

引理3[9]令B是一个Banach空间，S(x0,r)={x∈B:‖x-x0‖0. 令T将S(x0,r) 映射到B, 并且

① 对于所有的x,y∈S(x0,r),‖Tx-Ty‖≤ρ‖x-y‖，这里 0<ρ<1，

②r0=(1-ρ)-1‖Tx0-x0‖≤r.则有：

(1)T在S(x0,r)里有唯一不动点x*.

(2) 序列{xm}：其中xm+1=Txm,m=0,1,2,… 收敛到x*，而‖x*-xm‖≤ρmr0.

2主要结果

定理1假设边值问题(1)存在一个近似解z(t)，并且

(H3) ε(1-θ)-1C2,0≤N.

则有结论：

① 在S(z,N)={x(t)∈Rα:‖x-z‖0}中存在边值问题(1)的唯一解x*(t).

② 序列{xm(t)}收敛到x*(t).这里{xm(t)}称为近似解z(t)的Picard’s迭代序列，满足

(3)

x0(t)=z(t)，且有如下误差估计：‖x*-xm‖≤θmN0,N0=(1-θ)-1‖x1-x0‖.

(4)

G(t,s)是边值问题(1)的格林(Green’s)函数，有xm+1(t)=Txm(t),m=0,1,2,….则 T:Rα→Rα是全连续映射(见文献[4]).

z(t)∈S(z,N)，由Rα上的范数定义, 知(z(t),z′(t))∈D.

如果 x(t),y(t)∈S(z,N) 应用引理1和引理2, 有：

更进一步, 有:

即‖Tx-Ty‖≤θ‖x-y‖.

在劳拉看来，相比于保时捷911 GT2 RS偏软的底盘，她更喜欢迈凯伦的硬朗，虽然这并不会影响圈速的排名。对于经验尚浅的驾驶者来说，驾驶迈凯伦跑出的圈速通常优于保时捷，但对于职业车手来说则恰恰相反。换言之，保时捷911 GT2 RS拥有更高的极限，但前提是驾驶者对其特性的了然于心。

再次应用引理1 和引理2,得到|(Tz)(k)(t)-z(k)(t)|≤εC2,k,0≤k≤1，

即 ‖Tz-z‖≤εC2,0，由条件(H3), 有 (1-θ)-1‖Tz-z‖≤N.

这样，满足引理3 的条件.因此，定理1 中的结论①～② 成立.

定理1通过求解近似解的Picard’s迭代序列(3)得到了边值问题(1)的唯一解.然而，在实际应用中，函数f(t;x(t),x′(t))可以由一个函数序列{fm(t;x(t),x′(t))}近似得到.此时的Picard’s迭代序列{ym(t)}满足如下形式：

(5)

y0(t)=z(t).

(H4) 对于fm(t;x(t),x′(t))，如果 ∀y(t)∈S(z,N)，存在Δ≥0，使得下面不等式成立：

则称函数序列{fm(t;x(t),x′(t))}绝对近似到f(t;x(t),x′(t)).因此，有如下结论.

定理2假设边值问题(1)存在一个近似解z(t)，并且

(H5) 满足定理1 中的条件(H1)～(H2)，以及(H4)，

(H6) N1=(ε+Δ)(1-θ)-1C2,0≤N.

则有结论：

Ⅰ. 定理1中的结论①～② 成立.

Ⅱ. 由(5)得到的Picard’s序列{ym(t)}⊂S(z,N1)={y(t)∈Rα:‖y-z‖0}.

Ⅲ. 序列{ym(t)}收敛到边值问题(1)的唯一解x*(t)，当且仅当

此外

‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1(θ‖ym+1-ym‖+ΔC2,0).

(6)

证Δ≥0，则ε(1-θ)-1C2,0≤N1≤N，所以，结论Ⅰ成立.

为了证明结论Ⅱ，注意到，z(t)∈S(z,N1)，如果y(t)∈S(z,N1)，只须证明Ty(t)∈S(z,N1)即可.此处算子T如下定义：

(7)

为此，从(2)和(7)式，有：

即

即， ‖Ty-z‖≤(1-θ)N1+θ‖y-z‖≤(1-θ)N1+θN1=N1，所以，Ty(t)∈S(z,N1).

由式(5)和(7)知，结论Ⅱ成立.

下面证明结论Ⅲ.由xm+1(t)和ym+1(t)的定义知：

类似于定理1的证明，有：

(8)

现在对xm(t)-ym(t)进行相似的讨论，反复应用式(8)，并且注意x0(t)=y0(t)=z(t)得

(9)

对式(9)应用三角不等式，得到：

最后，证明式(6).为此，注意到：

与以前的证明类似，有：

‖x*-ym+1‖≤θ‖x*-ym‖+ΔC2.0≤θ‖x*-ym+1‖+θ‖ym+1-ym‖+ΔC2.0.

因此， ‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1{θ‖ym+1-ym‖+ΔC2.0}.

(H7) 对于fm(t;x(t),x′(t))，如果 ∀y(t)∈S(z,N)，存在 0≤ω≤1，使得下面不等式成立：

定理3假设边值问题(1)存在一个近似解z(t)，并且

(H8) 满足定理1 中的条件(H1)，以及(H7)，

(H9) ϑ=(1+ω)θ<1，

(H10)N2={ε+ω(1-ω)-1Ω}(1-ϑ)-1C2,0≤N.

则有结论：

(Ⅰ) 定理1中的结论①～② 成立.

(Ⅱ) 由式(5)得到的Picard’s序列{ym(t)}⊂S(z,N2)={y(t)∈Rα:‖y-z‖0}.

(Ⅲ) 序列{ym(t)}收敛到边值问题(1)的唯一解x*(t)，当且仅当

此外

(10)

证类似于定理2的证明，此处省略.

注记如果{fm(t;x(t),x′(t))}是Lipschitz类序列且一致收敛于{f(t;x(t),x′(t))}，则定理2，定理3中的结论显然成立.并且式(6)由下式替代：

‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1(θm‖y1-y0‖+ΔC2,0),

式(10)由下式替代：

‖x*-ym+1‖≤(1-θ)-1{θm‖y1-y0‖+ω(1-ω)-1C2,0Ω}.

如果不考虑近似解以及Lipschitz类的因素，可以得到边值问题(1)解的一般存在性结果.

(H11)f(t;x(t),x′(t))是[0,1]上的连续函数.

(H12) 存在一个正数M>0, 使得

则在[0,1]上，边值问题(1)至少存在一个解.

证应用Schauder’s不动点定理来证明由式(4)定义的算子T在[0,1]上有一个不动点.

首先,设{xn}是一个序列,并且在C1([0,1],R+)上xn→x.则∀t∈[0,1]有：

因为f是连续函数并且由引理2，有：

即 ‖T(xn)-T(x)‖→0,当n→∞时.因此，T是一个连续算子.

其次，任给η*>0，令Bη*={x∈C1([0,1],R+):‖x‖≤η*}，易知Bη*是有界凸闭集.∀x∈Bη*， 证明存在一个正数l使得‖T(x)‖≤l.

事实上，∀t∈[0,1]，由引理2，(4)式和条件(H12) 有：

下面证明,T是C1([0,1],R+)上全连续算子.

令t1,t2∈[0,1],t1

则当t1→t2时，上面不等式的右边趋于零.由Arzela’-Ascoli定理得知T是全连续的算子.

因此算子T在[0,1]上满足Schauder’s不动点定理，即边值问题(1)至少存在一个解.

在定理4中，如果将条件(H12)减弱的话，还可以得到更一般的存在性结果(见文献[1]).

(H13) 存在一个泛函φf∈L1([0,1],R+)和一个连续非减函数φ:[0,∞)→(0,∞)，使得

(H14) 存在一个正数K>0,使得

则在[0,1]上，边值问题(1)至少存在一个解.

证对于由(4)式定义的算子T，考虑∀λ∈[0,1],0≤t≤1，令x(t)满足：x(t)=λ(Tx)(t)，则由式(H13)和式(H14)，有：

φ(‖x‖)[Iαφf(t)+(1-t)(Iαφf(1)+Iα-1φf(1))]≤

φ(‖x‖)(‖Iαφf‖L1+Iαφf(1)+Iα-1φf(1)).

3数值例子

例1考虑如下边值问题

(11)

则f(t;x(t),x′(t))是[0,1]上的连续函数，并且|f(t;x(t),x′(t))|≤2，由定理4知边值问题(11)在[0,1]上至少存在一个解.

例2考虑如下边值问题

(12)

Picard’s迭代序列前10项数值解x1(t),x2(t),x3(t),…,x10(t)和唯一解x*(t)如下表所示.

表1　数值解和唯一解

致谢感谢安徽大学郑祖庥教授、中科院俞元洪研究员的教诲和指导!

参考文献：

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(编辑HWJ)

Picard’s Iterative Method for the Boundary Value Problem of a Class of the Fractional Order Differential Equation

SUNYu-feng*,ZENGGuang-zhao

(College of Mathematics and Statistics, Shaoguan University, Shaoguan 512005, China)

AbstractIn this article the existence and uniqueness of the solution for the boundary value problem of a class of fractional differential equations is proved by the Picard’s iterative method starting form the approximate solution of boundary value problems of these equations. We also proved the existence and uniqueners of the solution and provided the sufficient conditions for the boundary value problem by the Picard’s iterative methods when the nonlinear function f(t;x(t),x′(t)) is approximated instead of by a sequence of functions {fm(t;x(t),x′(t))}. The general condition for the existence of its solution is discussed without considering factors like the approximate solution of such boundary value problems and nonlinear function Lipschitz-class. Finally， the existence of the solution of such boundary value problems and the estimation of error between the accurate solution and the solution of iterative sequence are verified by two numerical examples.

Key wordsfractional differential equations; iterative method; approximate solution; estimation of error

中图分类号O175.8，O241.81

文献标识码A

文章编号1000-2537(2016)02-0082-08

*通讯作者,E-mail：surry2001@sina.com

基金项目：广东省自然科学基金资助项目(S2012010010069)；中山大学广东省计算科学重点实验室开放基金资助项目(201206015)；韶关市科技计划基金资助项目(2011CX/K20)

收稿日期：2015-07-02

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.02.014