考虑桥面随机不平顺的桥梁动态响应研究

张建波， 廖敬波， 唐光武， 徐文涛

(1.重庆交通科研设计院 桥梁工程结构动力学国家重点实验室，重庆　400067；2.郑州大学 力学与工程科学学院，郑州　450001)

考虑桥面随机不平顺的桥梁动态响应研究

张建波1,2， 廖敬波1， 唐光武1， 徐文涛2

(1.重庆交通科研设计院 桥梁工程结构动力学国家重点实验室，重庆400067；2.郑州大学 力学与工程科学学院，郑州450001)

摘要：基于随机振动理论研究桥面不平顺影响下，车桥耦合振动作用时的中小桥梁动态响应曲线;通过建立车桥耦合振动方程，基于虚拟激励法对重力引起的确定性激励和桥面不平顺引起的随机激励求解，得到桥梁跨中挠度和应力响应的均值和标准差。运用3σ法则定义随机激励的确定值值域，分析桥梁跨中位移和应力响应在不同车速和桥面不平顺等级作用下的特性，并讨论了动态响应曲线与准静态影响线的差异。结果表明：桥梁跨中挠度和应力标准差受车速和桥面不平顺等级变化的影响很大；桥梁动态响应值域范围很大，具有较强的随机性；相比准静态影响线，动态响应曲线更能体现车桥之间激励的耦合随机作用。

关键词：车桥耦合振动； 桥面不平顺； 虚拟激励法； 动态响应

随着经济的发展，交通运输日益繁忙，桥梁作为道路交通的咽喉，其承载能力评定、结构安全性以及疲劳寿命的分析就显得至关重要。作为研究桥梁承载能力和结构安全性的一种有效工具，影响线由于可以避开针对力学方程的反复求解而提高计算效率已经获得许多专家的认可[1-3]。由于计算方法和工具的限制，传统影响线的研究是基于结构准静态移动载荷基础上提出来的，并没有考虑结构的动态效应。然而在桥梁实际运营中，由于桥面不平顺的影响，行驶车辆与桥梁之间会产生较强的随机振动。因此，在实际应用中，需要将移动载荷的准静态影响线推广到桥梁动态响应曲线范围以满足桥梁设计和结构分析的需求。

近年来，随着桥梁结构损伤识别、桥梁承载能力评定以及桥梁移动载荷识别等研究方向的深入，相比准静态影响线，桥梁动态响应时程曲线能真实反映行驶车辆作用下桥梁的实际状态，因此更加受到人们的关注[4-5]。但有些文献仅把移动载荷作为动态影响的主要原因[6]，而忽略了其中复杂的随机作用；而有些文献虽然考虑了桥面的随机激励，但大多将桥面不平顺模拟为几条样本曲线的叠加，或采用有限的几条样本作为输入，忽略了随机问题的统计特性[7-8]。事实上，桥梁随机响应与桥面不平顺有密切的关系[9]，仅靠几条样本曲线，很难保证随机问题本质的体现，但大量的样本曲线又会使计算成本增加，计算效率降低。

虚拟激励法是近年提出的一套简洁、精确和高效的随机响应计算方法，在地震工程、结构风振分析、列车-轨道-桥梁的随机振动等多个方面取得了丰硕成果[10]，尤其在处理大规模随机振动数值分析方面具有明显优势。但由于其基于谱分析的计算，输出结果形式对于桥梁、土建等工程领域所需要的确定性结果尚需探讨结合的方法。

本文将移动车辆与中小桥梁模型看作动态的随机振动耦合体系，在充分考虑桥面随机不平顺的激励作用情况下，研究了桥梁的动态响应曲线。基于虚拟激励法对车辆与桥梁的非平稳随机振动进行分析，并针对工程所需的内力、位移、挠度等确定性工程量值进行3σ法转换，计算了桥梁跨中挠度和应力的动态响应，并研究了车速和桥面不平顺等级对其的影响，分析了桥梁准静态影响线与动态响应曲线的差异。

1车桥系统计算模型

将多轴移动车辆模型与中小桥梁模型的相互作用形式看作动态车桥耦合随机振动系统，建立整体的动力学方程，其中随机因素为桥面存在的高低不平顺。

1.1多轴车辆-桥梁耦合随机振动模型

以简支梁和四自由度二分之一车辆模型为研究对象(见图1)。其中：m0为车体质量；z0为车体的竖向位移；θ为车体绕横向轴的转角；Iz为车体转动惯矩；m1、m2为车辆前后轮的质量；z1、z2为前后轮的竖向位移；Ks1、Ks2、Cs1和Cs2为前后悬挂装置的弹簧刚度和阻尼系数；Kt1、Kt2、Ct1和Ct2为前后轮胎的刚度和阻尼系数；L1、L2为车辆前后轴到车体重心的距离。

图1　车辆与简支梁桥模型Fig.1 The model of vehicle andsimply-supported beam

1.2车辆振动方程

车身假设为刚体，前后轮视为集中质量，并假设轮胎与桥面始终保持接触状态，利用达朗贝尔原理可以推导出车辆系统的振动方程

(1)

式中：Μv、Κv、Cv分别为车辆的质量、刚度和阻尼矩阵；F1、F2分别为桥梁对车辆前后轮的作用力；zb1、zb2为前后车轮与桥梁接触点处的桥梁位移；zw1、zw2为接触点处的桥面不平顺位移。

由式(1)可知，车辆振动是由车轮与桥梁接触点处的桥梁位移和桥面不平顺共同作用引起的。

1.3桥梁振动方程

桥梁采用Bernoulli-Euler梁，通过有限元离散，可得其振动方程

(2)

(3)

式中：N1、N2为前后车轮与桥梁接触点处的单元形函数列向量。

1.4车桥耦合振动方程

通过车轮与桥梁接触点处的位移协调条件和车桥相互作用力之间的平衡关系，可将车辆与桥梁两个子系统的方程联系起来，利用单元形函数N1、N2将车辆前后轮与桥梁接触点处的作用力和位移转换为节点载荷和节点位移，然后按有限元法的对号入座方法组装车桥系统的质量、阻尼、刚度和载荷矩阵，则可得车桥耦合系统的时变方程

(4)

式中:

由式(4)可知，车桥时变系统的激励项分为由车辆重力引起的确定性激励Fg和由桥面不平顺引起的随机激励Fw。

2车桥耦合系统的非平稳随机响应

2.1桥面随机激励源

作为车桥耦合振动输入的桥面不平顺激励，采用与路面相同的功率谱密度函数描述其统计特性。拟合表达式如下[11]：

(5)

式中：n为空间频率(m-1)，它是波长λ的倒数，表示每米长度中包括几个波长；n0为参考空间频率，n0=0.1 m-1；Gqq(n0)为参考空间频率n0下的路面功率谱密度函数值，称为路面不平度系数；W为频率指数，通常取W=2。根据我国公路实际情况，按路面功率谱密度把路面的不平程度分为8级，高等公路路面谱基本在A级、B级、C级三个级别范围内，其中B级、C级占的比重较大。通过时域、频域转换，可以得到路面不平顺激励Gqq(n)与Gqq(f)的换算式：

(6)

将式(5)代入式(6)得到时间路面功率谱Gqq(f)×(m2s)的表达式

(7)

由圆频率ω(rad/s)与时间频率f的转换关系ω=2πf可得圆频率表达式

(8)

2.2随机响应的均值

在桥面不平顺作用下，车辆与桥梁之间会产生较强的非平稳随机振动，利用虚拟激励法可将其转化为确定性的时间历程进行分析，从而使计算量大大减少。桥面不平顺假设为均匀调制演变随机过程

w(x)=g(x)q(x)

(9)

(10)

g(x)为确定性慢变调制函数，q(x)为以空间坐标x为自变量的零均值平稳随机过程，其功率谱密度函数Gqq(n)已知。

将桥面不平顺由空间域转换到时间域，即

w(t)=g(t)q(t)

(11)

式中：q(t)是以时间坐标t为自变量的零均值平稳随机过程，其功率谱密度函数为Gqq(ω)。

车桥耦合系统方程的解可表示为[12]

(12)

式中：H(t-τ,τ)为脉冲响应矩阵。根据式(12)，系统响应的均值为

(13)

由于q(t)是零均值高斯过程，则式(13)可化为

(14)

由式(14)可知，车桥系统响应的均值是由确定性载荷Fg引起的。

2.3构造虚拟激励

根据式(11),车辆前后轮与桥梁接触点处的桥面不平顺可表示为

zw1=g(t)q(t)，zw2=g(t-Δt)q(t-Δt)

(15)

Δt=(L1+L2)/v

(16)

式中:Δt为车辆前后轮通过桥面同一点的时间差。

对zw1、zw2求导可得其速度项

(17)

由于g(t)为慢变函数，故不对其求导。则车桥系统方程中的随机激励Fw1和Fw2可表示为

(18)

Fw2=Kt2g(t-Δt)q(t-Δt)+

(19)

则可将随机激励Fw改写为

Fw=[Nk1Nk2]G(t)Q(t)+

(20)

式中:

Nk1=Kt1[0010N1]T；

G(t)=diag[g(t),g(t-Δt)]；

根据随机振动理论，桥面不平顺及其一阶导数的自功率谱和互功率谱关系如下

(21)

(22)

根据维纳-辛钦关系可得

E[{Q(τ1)}{Q(τ2)}T]=

(23)

式中：V*是矩阵V的复共轭矩阵

V=diag[1,e-iωΔt]

车桥系统响应的方差为

E[Fw(τ1)Fw(τ2)]HT(t-τ2,τ2)dτ1dτ2

(24)

联立式(20)～式(23)并代入式(24)，系统响应的方差矩阵RYY(t)可化为

(25)

其中

G(t)Va0eiωtdτ

(26)

根据式(26)，构造如下虚拟激励

(27)

则其引起的响应为

(28)

响应的功率谱矩阵为

(29)

3车桥时变系统方程求解

(30)

(31)

(32)

(33)

桥面不平顺是平稳高斯过程，由概率理论知，高斯过程在线性运算下性质保持不变，所以桥梁的动态响应也是高斯型随机变量，3σ准则是适用的，将桥梁跨中挠度和应力响应的均值加减三倍标准差可得其确定值值域。

4算例分析

车桥模型见图1，简支梁桥参数：桥长Lb=40 m，抗弯刚度EI=1.28×1011N·m2，单位长度质量m=1.20×104kg·m-1；车辆模型参数：m0=24 790 kg，L1=1.838 m，m1=m2=4 330 kg，L2=1.787 m，Ks1=Ks2=2.54×106N·m-1，Cs1=1.96×106N·s·m-1,Cs2=1.96×106N·s·m-1,Kt1=4.28×106N·m-1，Kt2=4.28×106N·m-1，Ct1=9.8×105N·s·m-1，Ct2=9.8×105N·s·m-1，Iz=3.258×106kg·m2。

分别考虑车辆行驶速度v为30 km/h、60 km/h、90 km/h、120 km/h和桥面不平顺A级、B级、C级、D级四个等级，从A级到D级桥面不平顺等级提高，路况逐渐变差，时间频率范围0.3～30 Hz，频率增量为0.3 Hz。基于Matlab软件对算例进行编程求解，获得了不同车速下桥梁跨中挠度和应力响应的均值，并得到了桥面不平顺等级为B级时不同车速下的桥梁跨中挠度和应力标准差时程曲线和车速为60 km/h时不同桥面不平顺等级下的桥梁跨中挠度和应力标准差曲线。

4.1桥梁跨中挠度响应

由图2～图4可知，桥梁跨中挠度的标准差受车速和桥面不平顺等级变化的影响很大，随着桥面不平顺等级的提高而成倍增加，但并不随着车速的提高而单调递增。车速变化对桥梁跨中挠度的均值影响不大，这是由于均值主要是由车辆前后轴重引起的。

由3σ法则知，桥梁跨中挠度的实际响应在均值加减三倍标准差的带状区域内。车速设置为60 km/h，桥面不平顺等级为B级，计算可得桥梁跨中挠度动态响应的上下限，并与车速为1 km/h时的桥梁跨中准静态响应进行对比(见图5)。由图5可知，桥梁跨中挠度的实际响应随机性很强，并且随着桥面不平顺等级的提高，带状区域宽度会增大。相比较桥梁的动态响应，桥梁跨中挠度的准静态影响线变化趋势平缓，未能体现出车桥之间的相互作用。

图6和图7是不同车速和不同桥面不平顺等级下桥梁挠度动态响应的最大值，图6中桥面不平顺等级为B级，图7中车速为60 km/h。由图6和图7可知，桥梁挠度动态随机响应受车速和桥面不平顺等级变化的影响很大，相比较车速变化，桥面不平顺等级变化的影响更加显著。

图2 不同车速下的桥梁跨中挠度均值Fig.2Meanvalueofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity图3 不同车速下的桥梁跨中挠度标准差Fig.3Standarddeviationofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity图4 不同桥面不平顺等级下的桥梁跨中挠度标准差Fig.4Standarddeviationofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

图5 桥梁跨中挠度的准静态和动态响应Fig.5Quasi-staticresponseanddynamicresponseofdeflectioninthemidspanofbridge图6 不同车速下的桥梁跨中挠度动态响应Fig.6Dynamicresponseofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity图7 不同桥面不平顺等级下的桥梁跨中挠度动态响应Fig.7Dynamicresponseofdeflectioninthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

4.2桥梁跨中应力响应

由图8～图10可知，桥梁跨中应力的标准差受车速和桥面不平顺等级变化的影响很大，其均值曲线受车速变化的影响不大。车辆行驶到桥梁中点前后时，桥梁跨中应力均值未有太大变化，这是由于车辆前后轴重相近。随着桥面不平度等级的提高，桥梁跨中应力的标准差成倍增加。图中标准差时程曲线呈现波浪状，且随着车速和桥面不平顺等级的提高而愈加明显，这是由桥面不平顺作用下的随机激励引起的。

图8 不同车速下的桥梁跨中应力均值Fig.8Meanvalueofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity图9 不同车速下的桥梁跨中应力标准差Fig.9Standarddeviationofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity图10 不同桥面不平顺等级下的桥梁跨中应力标准差Fig.10Standarddeviationofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

由图11可知，桥梁跨中应力响应的随机性比其挠度响应的随机性更强，说明桥面不平顺引起的随机激励对桥梁跨中应力的影响比对挠度的影响显著。与挠度准静态影响线相似，桥梁跨中应力准静态影响线变化平缓，未能体现车桥之间的相互作用。

图12工况设置与图6一致，图13工况设置与图7一致。由图12和图13可知，桥梁应力随机响应受车速和桥面不平顺等级变化的影响很大。

图11 桥梁跨中应力的准静态和动态响应Fig.11Quasi-staticresponseanddynamicresponseofstressinthemidspanofbridge图12 不同车速下的桥梁跨中应力动态响应Fig.12Dynamicresponseofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentvehiclevelocity图13 不同桥面不平顺等级下的桥梁跨中应力动态响应Fig.13Dynamicresponseofstressinthemidspanofbridgeunderdifferentstandardofbridgesurfaceroughness

5结论

本文采用虚拟激励法和Newmark-β积分法对桥面不平顺作用下车辆与桥梁的随机振动方程进行求解，系统的分析了车速变化和桥面不平顺等级变化对桥梁跨中挠度和应力的影响，并对随机振动作用下准静态影响线与动态响应时程曲线的差异进行了分析，结论如下：

(1) 对桥梁影响线的关注应考虑车辆-桥梁系统的动态效应及随机振动因素。

(2) 桥梁动态响应的标准差对车辆速度变化具有较强的敏感性，这些区别在以准静态方法为主的研究中不易被体现，而在动力学分析中能够得到充分考虑。

(3) 桥梁表面高低不平顺的随机特性对桥梁的动态响应具有显著的影响，并且有较大的贡献。相比仅考虑车辆移动效应的研究，其响应增大了20%多，说明桥梁影响线的研究不应忽略桥面不平顺造成的效应。

(4) 桥梁动态响应由于随机作用的存在，其结果应是一个值域，准静态影响线只是其中的一条曲线。

参 考 文 献

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Dynamic response of a bridge considering its surface random roughness

ZHANGJian-bo1,2,LIAOJing-bo1,TANGGuang-wu1,XUWen-tao2(1. State Key Laboratory of Bridge Engineering Structural Dynamics,Chongqing Communications Research & Design Institute, Chongqing 400067, China;2. School of Mechanics & Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

Abstract:Based on the random vibration theories, dynamic response curves of short and medium-span girder bridges considering vehicle-bridge coupling and bridge surface rough ness were studied. The dynamic equations of the vehicle-bridge coupled system were solved using the pseudo-excitation method (PEM), and the mean values and standard deviations of the deflection and stress of the bridge’s were calculated. Based on the 3σ method, the statistical solutions were converted into deterministic value ranges, attracted by attention of engineering researchers. The results showed that the standard deviations of the deflection and stress at the mid span of the bridge are greatly affected by vehicle velocity and bridge surface roughness level; the value range for the bridge’s dynamic response is large and more strongly random; compared with the quasi-static influence line, the dynamic response curves reflect the interaction of vehicle-bridge more evidently.

Key words:vehicle-bridge coupling vibration; bridge surface roughness; pseudo-excitation method; dynamic response

中图分类号:U441.3

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.07.033

通信作者徐文涛 男，博士，副教授，1980年生

收稿日期：2014-12-18修改稿收到日期：2015-04-14

基金项目：桥梁工程结构动力学国家重点实验室开放基金资助(201403)

第一作者 张建波 男，硕士，1992年生