基于小波方差的MEMS IMU随机误差模型间接估计方法

刘 菲，任 章，李清东

（北京航空航天大学 自动化科学与工程学院，北京 100083）

基于小波方差的MEMS IMU随机误差模型间接估计方法

刘 菲，任 章，李清东

（北京航空航天大学 自动化科学与工程学院，北京 100083）

MEMS IMU（Mirco Electro Mechanical System Inertial Measurement Unit）微机电惯性测量模块广泛应用于组合导航系统，其中MEMS IMU随机误差模型的准确性对导航精度有着重要的影响。针对Allan方差法在估计随机误差模型方面的不足，研究了间接估计方法。该方法以Daubechies离散小波变换与间接推断原理为基础，根据小波系数的零均值平稳特征，对分解尺度进行确定，将小波方差作为间接估计辅助参数，分析了最优估计准则的渐近一致性，最后使用高斯牛顿法对估计结果进行校正，获得满足渐近一致性的随机误差模型参数估计结果。仿真结果表明，间接估计方法提高了随机误差模型的估计精度，其中一阶马尔科夫过程的相关时间估计精度提高了12.383%，解决了一阶马尔科夫过程模型的准确估计问题。通过试验结果分析，进一步证明了以上结论。

MEMS IMU；随机误差模型；Daubechies离散小波变换；小波方差；间接推断

MEMS IMU功耗低、体积小、成本低、抗过载，使用MEMS IMU的组合导航系统已经广泛用于战术武器、小型无人机、车辆与行人导航、稳定平台等领域。但是，受制造工艺和精度水平的限制，MEMS IMU随机误差较大，具有非平稳特性，且模型复杂，很难消除，因此需要对MEMS IMU的随机误差模型进行深入研究。

通常使用近似建模对随机误差模型进行分析[1]，典型的建模方法是Allan方差法，IEEE将其作为惯性器件随机误差分析的标准方法。但是，Allan方差在随机误差模型分析中存在能量泄漏现象，Howe对这一问题进行了深入研究[2]，同时对于MEMS IMU随机误差建模常用的一阶马尔科夫过程，这一随机过程的统计特性模型复杂，Allan方差法通常采用近似分段估计不同的参数，估计精度较低。

小波方差在不同分解尺度上对随机误差的方差进行分解，是一种新的规范频谱分析方法，有效地降低了能量泄漏[3-4]，因此开始广泛应用于随机误差模型分析。国内高玉凯、宋凝芳等首次将小波方差理论用于光纤陀螺随机误差模型分析，结果证明小波方差法可以更加准确的反映各项误差的变化情况，有效地进行误差项的提取[5-6]，但文中没有考虑具有相关时间特性的一阶马尔科夫误差项。国外 Walden、Percival、Serroukh等对小波方差特性进行了深入的研究，在随机序列特性分析方向推导了多项定理，为进一步研究奠定了理论基础[7-10]，但没有提出针对一阶马尔科夫过程模型系统的有效估计方法。

针对以上问题，本文将小波方差与间接推断理论用于MEMS IMU随机误差模型估计。首先，文中对小波方差与随机误差模型的关系进行了研究，根据MEMS IMU随机误差的数据特征，研究小波分解尺度的确定方，为间接估计方法提供理论基础。其次，由间接推断原理，研究MEMS IMU随机误差模型间接估计步骤，采用高斯牛顿法对模型参数进行校正，获得渐近一致的估计结果。最后采用仿真数据与试验数据对间接估计方法进行性能验证，并对结果进行分析。

1 随机误差小波方差研究

1.1 小波方差原理

小波变换是在傅里叶变换基础上发展起来的数学分析方法，是一种时频的分析方法，小波变换采用小波函数逼近原信号。假设是 MEMS IMU输出的离散信号序列，长度为N，采样率为sf，对进行离散小波变换，采用母小波 ()tψ进行尺度及平移处理，假设 2pN= ，p是正整数，尺度按二进制变化时，小波基函数可表示为

尺度大小等于k时，小波方差定义为

式中：是对应的频域滤波器，当具有确定的模型时，模型的概率密度函数已知，可得出固定尺度下的小波方差与模型的关系[11]，由这一关系可对模型的未知参数进行估计。

MEMS IMU通常用于工作时间较短的导航系统，输出数据的随机误差可由高斯白噪声与几种具有后向差分性质的非平稳随机序列（如式(6)所示）拟合，使用 Allan方差法分析随机误差类型，从而得出的确定模型，为随机误差模型的估计提供基础。

1.2 小波分解尺度确定

当采用Daubechies函数进行离散小波变换时，各个尺度下滤波器的长度为其中1L是尺度等于1时的滤波器长度，此时滤波器长度最短，根据研究结果[12]：若要求b阶后向差分非平稳随机序列在离散小波变换后生成的小波系数是零均值的平稳随机序列，只需满足。由此可见，Daubechies小波系数均值消除了不确定性，具备良好的数据特征。

对进行Daubechies离散小波多分辨分析过程中，获得多组小波系数与一组尺度系数，其中尺度系数包含大部分的原信号信息，与原信号最接近，小波系数包含大量的原信号细节信息，如随机误差。因此，在多尺度分解过程中，分解尺度的选择是一个难点：① 不同的传感器或同一传感器不同的使用环境与时间，都会导致信号分解所需的尺度不同；② 随着分解尺度的增大，小波系数的均值不再等于 0，若选择的尺度过大，则小波系数中将包含信号的低频特征，不利于误差特性分析。为了对分解尺度K进行判断，本文采用一种简单方法对每一层的小波系数的均值进行检验，设1c是大于零的小量，检验依据如下：

2 间接推断原理应用

间接推断法是经济学领域一种重要的参数估计方法，该方法主要是为了解决含有隐形变量模型、有缺失数据模型和非线性动态模型的参数估计问题。间接推断法以间接标准为基础，即最优准则并不直接为被估计量提供一致性估计，是一种有效的复杂模型参数估计方法。在使用时分为两个步骤：① 提出满足渐近一致性的最优准则与辅助模型；② 将实际模型模拟数据与量测数据带入到最优准则中，根据被估参数与辅助参数的关系校正被估参数，获得具有渐近一致性的被估参数估计结果[13-14]。

本文主要研究的MEMS IMU随机误差，其模型不含外生控制变量，可将动态模型表示为：

式中：ty是量测量，tε是白噪声，θ是需要估计的未知参量，θ中包括多个随机误差的相关时间系数及驱动噪声方差，选用随机误差的小波方差作为辅助参数，根据式(5)建立被估计参数与辅助参数的关系F(·)，且有：

式中：0θ是被估计参数的真值，是ty在尺度k下的小波方差估计值。由式(9)可以看出，当ty为有限长度的序列时，是的一致性估计。

在实际应用中，MEMS IMU随机误差通常由几个独立的随机过程组成，即，这时随机误差的小波方差可扩展为

根据上一节的研究，将小波方差特性与间接推断方法结合，可得出具有渐近一致性的随机误差模型参数估计方法，间接估计方法分以下几步执行：

① 采用Allan方差法分析随机误差类型；

② 根据随机误差类型确定需要估计的参数θ；

图1 随机误差参数估计流程Fig.1 Flowchart for parameter estimation of random errors

3 仿真验证

首先采用仿真数据对间接估计方法进行验证，并与ALLAN方差法的估计结果进行对比。根据常用的MEMS IMU随机误差模型生成仿真数据，模型参数如表1所示，数据采样率设置为1 s，采集时间3 h，共108 000个数据点。

表1 模拟随机误差参数设置Tab.1 Parameters for random error simulation

表1中2σ表示激励白噪声方差，τ是一阶马尔科夫过程的相关时间常数。

将估计结果及相对误差计算结果总结在表2中，估计过程的迭代曲线如图2所示。由表2可得出间接方法估计精度更高，尤其是一阶马尔科夫过程相关时间，Allan方差法计算结果相对误差为20.82%，间接估计方法将相对误差降低到8.437%。从图2中可以看出，4个参数的估计结果分别收敛，其中收敛速度最快，τ的收敛速度最慢，由于计算过程中的数值误差、数据长度等因素，间接估计结果与真值存在一定偏差，但并不影响对间接估计理论的验证。

图2 基于间接法的仿真数据参数估计曲线Fig.2 Curves of parameter estimation by simulation based on indirect inference method

表2 仿真数据模型参数估计结果Tab.2 Parameter estimation results of the simulation model

4 试验结果分析

这一节使用试验数据进一步验证估计性能，与上一节相比，无法获得准确的MEMS IMU随机误差模型进行对比分析，因此将估计结果用于多传感器姿态融合算法，根据校正后的姿态结果验证随机特性估计方法。试验使用的MEMS IMU模块由ADXRS623陀螺仪和 ADXL320加速度计组成，数据输出频率是50Hz，采集30min静态数据。分别计算三轴陀螺输出数据和三轴加速度计输出数据的Allan方差，并画出双对数曲线，如图3、图4所示。

从图3、图4可以看出，陀螺仪输出的随机误差主要由白噪声和一阶马尔科夫过程组成，加速度计输出的随机误差主要由白噪声和随机游走噪声组成，因此选用的融合模型状态量误差项为以上4种。

分别采用 Allan方差法与间接估计方法对六组观测数据的随机误差参数进行估计，估计结果如表 3、表4所示。与仿真数据的估计结果相比，实测数据的估计结果差距较大，在使用 Allan方差法估计随机误差模型参数时，一阶马尔科夫过程的双对数曲线特征不清晰，无法进行准确的参数估计。

图3 陀螺数据Allan方差双对数曲线Fig.3 Loglog of Allan variance by gyro data

图4 加速度计数据Allan方差双对数曲线Fig.4 Loglog of Allan variance by accelerometer data

试验数据选自实验室小型无人机的一次飞行试验，小型无人机分别搭载了MEMS IMU模块与高精度组合导航系统，高精度导航系统作为参考系统。选用飞行试验中200 s的稳定飞行数据，这段时间内小型无人机的飞行轨迹如图5所示，在200 s以内东（East）、北（North）、高（Up）方向的位置变化以m为单位，在100 s到120 s 飞行过程受到扰动，有姿态变化。为了便于结果展示，使用 Allan方差法、间接估计方法结果的验证过程分别称为方案1、方案2，融合后姿态校正结果如图6～图8所示，其中红色曲线为参考姿态，黑色、蓝色曲线表示方案1、方案2校正后的姿态结果，将校正后的姿态误差方差、误差绝对值均值及误差范围总结在表5中。

图5 飞行试验轨迹Fig.5 Test flight trajectory

表3 陀螺随机误差参数估计结果Tab.3 Parameter estimation results of gyro random errors

表4 加速度计随机误差参数估计结果Tab.4 Parameter estimation results of accelerometer random errors

由结果可以看出方案2的姿态误差较小，并且方案2更加有效地抑制了姿态误差漂移，尤其是偏航角与俯仰角误差，即使滚转角的误差仍有较小的误差漂移，但与方案1相比有明显改善。由此可见，间接方法估计结果更能真实地反映MEMS MIMU的随机误差，该结论与仿真数据验证结果相符。

图6 校正后的偏航角Fig.6 Calibrated yaw angle

图 7 校正后的俯仰角Fig.7 Calibrated pitch angle

图 8 校正后的滚转角Fig.8 Calibrated roll angle

差方差/(°)2 姿态角误差均值/(°) 姿态角误差范围/(°) 方案2 方案1 方案2 方案1 方案2 0.700 9 0.534 0 0.4524 0.914 7 ～ -4.068 2 0.532 7 ～ -4.049 2俯仰角 0.053 6 0.026 4 0.398 4 0.1873 0.831 5 ～ -0.079 4 0.664 3 ～ -0.024 8滚转角 0.044 9 0.018 9 0.286 7 0.1171 0.782 7 ～ -0.031 6 0.490 2 ～ -0.021 8

附录：MEMS IMU常见随机误差的Allan方差与小波方差Appendix: The Allan variance and wavelet variance of common MEMS IMU random errors

5 总 结

论文针对MEMS IMU随机误差模型参数估计问题，深入研究了小波方差理论与间接推断原理，提出了间接估计方法。文中首先介绍了小波方差与随机误差模型的对应关系，并根据小波系数的统计特性，确定了小波分解尺度，其次，将小波方差与间接推断原理相结合，确定了最优估计准则与辅助参数；最后对间接估计方法步骤进行了详细介绍。通过仿真验证与试验验证，结果表明，与ALLAN方差法相比，间接估计方法可以准确地估计一阶马尔科夫过程模型参数，且提高了MEMS IMU的随机误差模型参数估计精度，为随机误差模型的研究提供了新方法。

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Indirect estimation method for random error models of MEMS IMU based on wavelet variance

LIU Fei, REN Zhang, LI Qing-dong
(School of Autonomous Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China)

Recently, MEMS IMU has been widely used in the integrated navigation system, and the accuracy of random error models has important effects on the navigation information. Regarding the disadvantages of the Allan variance method in parameter estimation, the indirect estimation was proposed. On the basis of Daubechies discrete wavelet transform and indirect inference theory, wavelet decomposition scale was determined by wavelet coefficient series properties. Then wavelet variance was adopted as the auxiliary parameter of indirect estimation, and an optimal criterion possessing progressive consistency was researched. Finally, Gauss-Newton method was utilized to calibrate the estimated results of random error model parameters which satisfied asymptotic consistency. Simulation indicated that, compared with Allan variance method, the indirect estimation method improved the accuracy of parameter estimation, and the accuracy of a first-order Markov random process correlation time was improved 12.383%. So the indirect estimation method effectively resolved the issue concerning accurate parameter estimation of a first-order Markov process model. By analyzing test results, the conclusions were verified further.

MEMS IMU; random error models; Daubechies discrete wavelet transform; wavelet variance; indirect inference

U666.1

A

1005-6734(2016)01-0077-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.014

2015-09-05；

2015-11-29

国家自然科学基金重点项目（61333011）

刘菲（1985—），女，博士后，从事小型飞行器导航技术研究。E-mail: lf1985liufei198@bit.edu.cn