浅谈矩阵

刘明月 刘彦明

摘要：文章主要阐述了线性代数中矩阵的数学含义：矩阵就是n维向量空间中的线性变换的一个描述，矩阵的本质是“运动”的描述。在一个n维向量空间中，只要选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都可以用一个确定的矩阵来描述，即线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。希望本文对于初学线性代数的学生会有所帮助。

关键词：线性变换;向量;矩阵

中图分类号：G642.3     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）41-0217-02

线性代数这门大学数学基础课，主要研究n维向量空间、线性变换、矩阵、行列式等，这些知识在工程与应用数学上应用广泛，以至于瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics（《数学概观》）中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”[1]但很多教科书将教学重点放在了矩阵的运算、性质和变形方式方法上，而忽略了矩阵的概念与本质的解释和理解。《线性代数》课本上对矩阵的定义仅是一句：矩阵是由m×n个数构成的m行n列的数表。致使众多学子对于这个数表的妙处无从了解，很多进入大学阶段的大学生，都是到了大二、大三学习了一些和线性代数相关的后续课程之后，对矩阵才能够逐步理解和应用的。本文将就线性代数中一些常规应用简单阐述一下矩阵的实质。

首先，简介一下n维向量空间和其中的向量，它们和矩阵的关系是密不可分的。n维向量空间是一个线性空间，对加法和数乘是封闭的，之中的所有元素，通过选定相应的基和坐标，都可以表示为向量的和与数乘的形式。如n维单位坐标向量ε=（1，0，…，0），ε=（0，1，…，0），…，ε=（0，0，…，1）是n维向量空间R的一组基，向量空间R中的任一向量α=（a，a，…，a）=aε+aε+…+aε。其中，基的选取有很多种方法，只要所选取的那组基中各向量之间线性无关即可。也就是说，任何n个线性无关的n维向量都可以构成n维向量空间R的一组基，而任何一组基又都可以构成一个n维度的坐标体系（其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位[2]）。向量是很灵活的，一旦找到相应的一组基，就可以用它来表示n维向量空间里的任一元素。向量表面上只是一列数，但由于它的有序性，除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数对应的位置上携带信息。[1]在程序编辑过程中数组比较简单但却变幻无穷，根源就在于此。

线性空间像诸多别的空间一样，可以容纳“运动”，维向量空间中的“运动”被称为线性变换。[2]从n维向量空间中的一个对象运动到任意的另外一个对象，都能够通过一个线性变换来实现。那么，线性变换是如何实现这些运动的呢？在n维向量空间中，确定一组基后，向量表示该空间中任一元素，通过矩阵可以实现该空间中的所有运动。使某个对象发生相应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。[2]例如A=（α，α，α）= 1    2 3-1 1       1 0    2 3，其中α，α，α是向量空间R中的一组基;B=（β，β）=5  -90  -87 -13，β，β在这组基中的坐标分别是（2，3，-1），（3，-3，-2），则（β，β）=（α，α，α） 2      3 3    -3-1 -2。简单地说，在n维向量空间中选定一组基之后，向量描述对象，而矩阵描述对象的运动，用矩阵与向量的乘法来实现运动。

线性代数中“运动”的形式，有异于微积分运算推理中连续性的运动，是瞬间发生的变化，就如物理学中的量子在不同的能量级轨道上的跳跃一般，是瞬间发生的，是一种跃迁行为。[3]这种“跃迁运动”会和实际应用之间奇妙地结合起来。例如A=5 8 107 5  6，其中第一行元素顺次（从左到右）表示甲超市中的某三种商品在某日的销售量，第二行元素顺次（从左到右）表示乙超市中的同样的三种商品在某日的销售量;B=15 312 220 4，其中第一列元素顺次（从上到下）分别表示以上三种商品的出售单价，第二列元素顺次（从上到下）分别表示以上三种商品的单件利润。则有AB=371 71285 55，其中第一列元素顺次（从上到下）分别表示甲、乙两超市在某日出售以上三种商品的总收入，第二列元素顺次（从上到下）分别表示甲、乙两超市在某日出售以上三种商品的总利润。

综上所述，矩阵就是n维向量空间中的线性变换的一个描述，矩阵的本质是“运动”的描述。在一个n维向量空间中，只要选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都可以用一个确定的矩阵来描述，[4]即线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。例如，我们经常解的n元线性方程组，系数矩阵A=（a）就是从自变量x，x，…，x到因变量y，y，…，y的线性变换矩阵，此n元线性方程组可以表示为Y=AX，其中X=（x，x，…，x），Y=（y，y，…，y）。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是对这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。[5]所谓相似矩阵，就是这同一个线性变换的不同的描述矩阵。

最后，说一下矩阵和行列式。两者在定义和运算法则上都没有直接的关系，但行列式在很多方面都决定着矩阵的性质，如倘若某个方阵所对应的行列式不等于零，则此方阵为非奇异矩阵，可逆;一个n元线性方程组的系数行列式（倘若有的话）不等于零，则其系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩等于其自变量的个数n，此方程组有唯一解，等等。这些关系不是纯属巧合，矩阵的很多基本性质都是在行列式的发展中建立起来的，矩阵这个概念在产生之前就已经发展得很好了，在行列式的大量工作中可以明显地表现出来，不管行列式的值是否与问题相关，方阵本身都是可以研究和使用的。[5]矩阵这个词是由西尔维斯特首先使用的，为的是将数字的矩形阵和行列式区别开来。矩阵并不像行列式的存在形式那般死板，必须要求行数等于列数，所以，从数学逻辑上来考虑，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在数学发展史上，行列式的产生次序是早于矩阵的。

参考文献：

[1]加黑蒂.数学拾遗[M].北京：清华大学出版社，2004：08.

[2]龚升.线性代数五讲[M].北京：科学出版社，2005：02.

[3]俄罗斯]A.D.亚历山大洛夫，等.数学：它的内容、方法和意义（第一版）[M].北京：科学出版社，2012：02.

[4]金慧萍.经济数学[M].杭州：浙江大学出版社，2012：07.

[5]吴博峰，樊葡萄.线性代数[M].北京：经济科学出版社，2016L01.

Talk about Matrix

LIU Ming-yue，LIU Yan-ming

（XingZhi College of  Xian University of Finance and Economics，Shaanxi，Xian，710038;

Xian Shiyou University，Xian，Shaanxi  710065，China）

Abstract：This paper expounds the mathematical meaning of the matrix in linear algebra：Matrix is a description of linear transformation of n dimensional space，the nature of the matrix is to describe the "movement". In a linear space，as long as a set of selected base，any linear transformation can be used to describe by a definite matrix，between linear transformation and matrix exist the only corresponding relation. I hope this article will be helpful for beginners to study linear algebra.

Key words：linear transformation;vector;matrix