数学求导思想在化学工业难题中的应用

加兵

摘要：文章从建立函数关系式，用求导数的方法解决了合成氨中氢氮最佳投料比这一极值问题，探索和提供了解决极值问题的全新的思路和方向，培养了学生在化学学习过程中养成言之有理、论之有据的习惯。

关键词：平衡氨含量；导数；隐函数；复合函数求导；函数的单调性

文章编号：1008-0546（2016）05-0076-02 中图分类号：G633.8 文献标识码：B

doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2016.05.030

一、问题的提出

氨是生产硫酸铵、硝酸铵、碳酸氢铵、氯化铵、尿素等化学肥料的主要原料，也是硝酸、燃料、炸药、医药、有机合成塑料、合成纤维、石油化学工业等的重要原料。因此，合成氨工业在国民经济中占有十分重要的地位。

氢和氮合成氨的反应如下：

N2（g）+3H2（g）2NH3（g）；ΔH=-92.4kJ·mol-1

此反应具有可逆、放热、体积缩小的特点。其平衡常数用分压表示为：

Kp=

由平衡移动原理可知，加压有利于平衡正移，提高平衡氨含量，考虑到反应速率，本反应还使用了催化剂，并适当提高反应温度至500℃左右。可是当参加反应的氢气、氮气的物质的量比值为多少时可获得最大的平衡氨含量呢？

二、数学求导思想的应用

在长期的高中教学实践中，每当有学生就此类问题问到我时，我只能找到已有的实验数据进行归纳总结，把最佳比值作为一个经验结论告诉学生。学生接受起来比较勉强，我自己对这样的教学效果也不满意，为此我向同事求教讨论，查阅了化工资料和高中及大学数学课本，进行研究和探讨，用严密的数学推理算出了最佳比值。

平衡氨含量是在一定的温度、压强和氢氮比等条件下，反应达到平衡时，氨在气体混合物中的物质的量分数。平衡氨含量即反应的理论最大产量，我们将这一实际的极值问题转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的极值问题。

设平衡后混合气体中含有N2、H2、NH3气体，平衡时体系总压为P，以上三种气体的物质的量分数分别用xN、x、x表示，

那么x+x+x=1①

由道尔顿分压定律：P（N2）=P·xN2②

PH2=P·xH2③

PNH3=P·xNH3④

令n=，则：xH=n·xN⑤

将⑤带入①，得到：xH+n·xN+x=1

整理得：xH=（1-x）⑥

将⑥代入⑤得xH=（1-x）⑦

将④、⑥、⑦代入平衡常数表达式：Kp=

=

=

=

将上式变形得：Kp·P 2·=⑧

由⑧可看出影响平衡时氨含量x2NH3大小的因素有三个：平衡体系总压P，平衡常数KP（与温度有关），n值（即氢氮比），也可把⑧式看作xNH3=f（n）的一个隐函数，此时问题就转化为：当n取何值时xNH3最大？导数是研究函数最大（小）值问题的最一般、最有效工具。普通高中课程标准实验教科书《数学选修2-2》第一章，第4节针对这类优化问题举出了很多解决范例。

同样，对于⑧式，当=0时，x可取得极大值，由复合函数求导法则Ⅰ和导数运算法则Ⅱ对⑧两端分别对n求导：

Kp·P 2·=·

Kp·P 2·

=·

=·⑨

观察⑨式右边，分子不可能为零（∵0

故若要=0，必然要求=0

即3n2（n+1）4-4（n+1）3·n3=0

3（n+1）=4n

n=3

即=时，x可取最大值。

又因为H2、N2达平衡过程中的变化量之比也为3∶1，则有效投料为3∶1时，平衡混合物中氨的物质的量分数最大。

对⑨式也有稍简便的处理：观察⑨式左边可知，当x∈（0，1）时，为一取值大于零的单调递增函数，则在相应定义域上也为单调递增函数Ⅲ。

故：当取极大值时，取极大值，那么x也同时取到最大值。

令：=0，即=0

3n（n+1）-4（n+1）·n=0

3（n+1）=4n

n=3

两种证法均是用求导数的方法解决了合成氨中的投料优化问题，即H2、N2的有效投料为3∶1时，平衡混合物中氨的物质的量分数最大。

参考文献

[1] 崔恩选主编.化学工艺学（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2000

[2] 课程教材研究所著.数学（高中）选修2-2[M]. 北京：人民教育出版社，2011

[3] 同济大学教研室主编.高等数学（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1993