高考中必然与或然思想的考查

王浩 高保中

概率与统计研究的是随机现象，其研究对象——随机事件具有两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性. 研究的过程与方法是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是必然与或然思想. 近几年高考中，对必然与或然数学思想方法的考查在素材、难度、分值上等总体相对稳定，难度定位在中等水平. 试题在源于教材的基础上推陈出新，略加延伸又不盲目拔高. 该部分内容作为考查同学们分析、解决实际应用问题能力的重要载体，背景新颖，常给人耳目一新的感觉，充分体现了概率统计的工具性和交互性.

通过以上表格并结合前几年的试题，我们不难发现：无论是文科卷还是理科卷，概率类试题的题量、题型、分值都比较稳定，并且同一省份的文理卷中此类试题常以“姊妹题”的形式出现，即背景相同，题型类似，但考查深度以及侧重有所不同. 理科在解答题部分将会重点考查古典概率模型、几何概率模型、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、次重复独立试验发生次的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望（均值）与方差有关问题、回归分析等. 文科不再考查排列、组合、二项式定理，删除了事件的相互独立性、独立重复试验，在解答题部分基本上都是以列举计数的方法对概率进行考查，难度相对小，比较好把握，故本文主要针对理科试题进行比较研究.

探究必然与或然数学思想的考查

1. 对必然与或然基本数学思想的理解与灵活应用

掌握数学的基本思想和方法是我们学习数学的最重要的出发点和归宿，也是高考命题者的一个立足点.在概率统计模块中，必然与或然数学思想包括：抽样原理、估计思想（样本估计总体）、相关思想、拟合思想、检验思想、模拟思想等. 此类题难度一般不大，解题关键是对必然与或然基本思想的准确把握.

例1 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每一个个体被抽中的概率分别为，则（ ）

A. B.

C. D.

解析 随机抽样主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样这三种，根据随机抽样的概念，每一个个体被抽中的概率均为.

答案 D

点拨 破解此题不需要计算，关键是对随机抽样的有关概念实质的理解，对统计学中最基本方法的熟练掌握和抽样的基本特征——“等可能性”的准确理解！

例2 根据如下样本数据，得到的回归方程为，则（ ）

答案 B

点拨 解决此题并不需要求出回归直线方程，而只需根据散点图拟合出回归直线的大致图象，并对回归直线的斜率和截距作出判断，重点考查了拟合思想. 近期高考对线性回归问题要求一般都不高，主要有：根据样本数据作散点图来判断两个变量之间具有怎样的相关关系；正确理解计算，的含义；利用回归方程公式作简单计算；利用回归直线过样本点的中心的特征处理问题等.

2. 对基础知识、基本运算和基本技能的考查仍是重点

统计不难发现，各地概率统计试题中对基础知识和基本运算、基本技能的考查仍占较大比例，常见问题有：频率分布直方图、古典概率、几何概型的计算；均值与方差等数字特征的计算以及概率分布（如二项分布、正态分布）；线性回归分析等有关问题，其中线性回归分析对运算能力的要求较高.

例3 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球. 从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）

A. 1 B.

C. D.

解析 从袋中任取2个球共有种，其中恰好1个白球1个红球共有种，所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为.

答案 B

点拨 本题意在考查基本知识与基本运算，涉及到排列组合的知识、古典概率的计算以及转化与化归思想应用. 解答此题的关键在于理解所取2球恰好1个白球、1个红球，即是分步在白球和红球各取1个球的组合.

例4 已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.

解析 （1）记“第一次检测出是次品且第二次检测出是正品”为事件A.

（2）X的可能取值为200，300，400.

点拨 高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型. 解决此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答，这些都是同学们需要掌握的基本解题技能.

3. 强化对数据的处理能力及图表的阅读理解能力的考查

概率统计问题离不开读图表、画图表和解释图表，根据图表对数据进行处理分析，作出合理推断，并能对推断作出符合实际的评价. 故“读”“画”“识”“断”是本模块考查的一大特色.

例5 某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

[满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 ]

记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”. 假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件发生的概率.

解析 （1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下.

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值；地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意度评分比较分散.

（2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意或非常满意”；表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”；表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”；表示事件：“地区用户满意度等级为满意”.

则与独立，与独立，与互斥，且.

.

由所给数据得，，，发生的概率分别为.

故.

.

评析 本题考查同学们对数据的处理能力，考查知识点包括茎叶图、互斥事件和独立事件等. 应用茎叶图将所给的较多数据进行处理，能够更加清晰地看出数据间的关系，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；对于方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大. 读懂所求概率事件的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求解.

4. 充分发掘现实生活素材，考查分析问题和解决实际问题的能力

由于概率统计问题有广泛的实际背景与应用价值，故高考中考查大家的应用意识与能力的应用题大都以概率统计题为载体，题材涉及生产、生活科研中的方方面面，考查分析和解决实际问题的能力，同时对阅读理解的能力有较高的要求. 主要考查随机变量分布列、期望和方差的应用、通过回归分析进行预报预测等.

例6 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）以知这种产品的年利率z与x，y的关系为z=0.2y-x.根据（2）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据，…，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，

解析 （1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.

（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，

，

所以关于的线性回归方程为，因此关于的线性回归方程.

（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值.

年利润的预报值

（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值

所以，当，即时，取得最大值，

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

评析 本题紧密结合生产实际，以某种产品的宣传费，年销售量和年利润的关系问题为背景，考查线性回归分析基本思想与方法及处理非线性拟合问题的转化能力，是源于课本的试题类型，此类联系实际生活生产的题型一般对考生的阅读能力有一定的要求，对运算能力有较高要求，注意计算要细心，避免因计算失误丢分. 解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测.

5. 在思想方法交织线和能力层次的交叉区设计试题，综合考查素质与潜能

近几年高考概率统计综合题常在思想方法交织线和能力层次的交叉区设计，将概率统计问题与函数、算法以及向量等其它数学知识交汇在一起，考查大家综合运用相关知识和方法进行信息迁移和知识整合的能力.

例7 在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）

A. B.

C. D.

解析 因为，对事件“”，如图（1）阴影部分；

对事件“”，如图（2）阴影部分；

对事件“”，如图（3）阴影部分.

（1） （2） （3）

由图知，阴影部分的面积从小到大依次是，根据几何概型公式可得.

答案 B

评析 将简单的线性规划和几何概型交汇在一起出题在高考中十分常见，有时候还会涉及到定积分求面积，考查面十分广泛。求解几何概型的问题，一般先求出试验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可. 对几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.

从上面的归纳分析可以看出，考查必然与或然数学思想方法的命题总体较常规. 这类试题题型新颖灵活，交汇性强， 虽然在常规题型中常发生一定的“变异”，但试题总的来说难度不大，以考查基础知识和基本方法为主，注重考查同学们的数学素养和数学应用能力. 因此同学们在复习时要重视基础，基于考点抓重点；在临考前，更应该通读教材.