导数几何意义的应用分类解析

朵天举

摘 要：导数几何意义的应用是各级各类考试考查的热点之一，本文将从具体的实例出发，分析并介绍高考中常见的题型，找出一般的解题策略与技巧。

关键词：导数的几何意义；应用；分析

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-01

导数的几何意义是高中数学的一个重要知识点，也是每年高考的必考内容。利用导数的几何意义解决的问题较多，归纳起来常见的类型有：（1）求切线方程及切点坐标；（2）求参数的值；（3）其它的综合问题。下面就导数几何意义的应用进行分类解析。

类型一：求切线方程及切点坐标

问题1. 已知函数f（x）=ax2-x2，其中a∈R。当a=1时，求曲线y=f（x）的在点（1，f（1））处的切线方程。

解析：求曲线的方程，要看已知的点是否为切点。这里的点（1，f（1））显然是切点。

当a=1时，f（x）=x2-x2，因此f（1）=，切点为（1，），又 f'（x）=2x2-x+1，故k=f'（1）=2+1-1=2，曲线f（x）在点（1，）处的切线方程为y-=2（x-1）：，可得12x-6y-5=0.

问题2.（已知切线过某点求曲线的切线方程）

已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l过（0，0）与曲线C相切，求直线l的方程.

解析：由题意知切线过原点，但原点不一定是切点。故先设切点，再求解。

设切线为y=kx，切点为（x0.y0）则y0=kx0.................①

由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03-3x02+2x0.................②

又y'=3x2-6x+2，则k=3x02-6x0+2.................③

∴由①、②、③得x0=0或x0=-

∴切点为（0，2）或（ ，- ）.

∴当切点为（0，2）时，直线l的方程为y=2x；当切点为（ ，- ）.时，直线的方程为y=-x.

点评：利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，学生往往忽视已知点是否为切点，而造成错误。要分清在点p处的切线与过p点的切线的不同。曲线y=f（x）在点p（x0.y0）处的切线是指p为切点；曲线y=f（x）过点p（x0.y0）的切线是指切线经过点。

类型二：求参数的值

问题3： 已知直线y=x+1与曲线y=In（x+a）相切，求a的值.

解析：设出切点后再求导，利用导数的几何意义求解。

设直线y=x+1与曲线y=In（x+a）的切点为（x0，y0），将点（x0，y0）代入直线与曲线方程得y0=x0+1，y0=In（x0+a） ∵y'=，y'x-x0==1， ∴x0+a=1， ∴y0=0 ，x0=1 ∴a=2.

点评：高考中常考查“已知曲线的切线求参数”问题，这类问题有可能出现在小题中，也有可能出现在解答题第一问。该类问题综合考查函数解析式的求解、导数的几何意义、直线方程的求解、及其方程组的解法。解决这类问题的关键是建立函数在切点处的导数与斜率的关系，其实质是导数几何意义的逆用。

类型三：其他综合问题

问题4 ：如果y=f（x）的导函数的图像是开口向上，顶点坐标为（1，-）的二次函数，求曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围.

解析：求曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围，先求切线的斜率范围。

设曲线y=f（x）上任一点P（x0，y0），在该点的切线斜率为k，因为y=f（x）的导函数f'（x）的图像是开口向上，顶点坐标（1，-）为的二次函数，∴f'（x）≥-。由此f'（x0）≥-，k≥-。由正切函数的图像可知倾斜角α的取值范围是[0，）∪[，π）.

点评：本题综合考查导函数的概念、二次函数的图像及值域、导函数与函数在某一点的导数的关系、三角函数的图像、直线的倾斜角与斜率的关系。解决综合性问题的关键是理清思路，将复杂的问题分解成小问题，逐个击破。

问题5 ：已知函数fn（x）=xn+1，n∈N*的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值.

解析：求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值，即求x1x2x3…x2011x2012的积，进而转化为求xn.由fn'（x）=（n+1）xn，曲线fn（x）=xn+1在点P（1，1）处的切线斜率k=n+1，故在x=1处的切线方程为y-1=（n+1（x-1）），

令y=0得xn=，所以x1x2x3…x2011x2012=××…××=.

故log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log20132013-1=-1.

点评：本题综合考查应用导数求曲线的切线方程及对数的运算公式的应用。

综上所述，导数几何意义的应用比较广泛，但从高考的命题动向看，主要考查以上三方面的应用。解决此类问题的关键是抓住函数在某点的导数等于曲线在该点的切线斜率；另一方面还要抓住题目的关键和本质所在，将复杂问题分解成多个小问题，不能解决的问题转化为已知问题。