初中生数学分类思想的建立

张建明

摘要：《数学新课程标准》中明确要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”，这就要求我们教师在教学中应注重对学生的观察、操作、分析、思考能力的培养，更应不断地渗透数学思想方法，如何分类是我们初中数学应该重点教育的内容。

关键词：分类；初中数学；思维素质

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）07-085-2

在自然科学的研究中，人们通常采用分类的思想方法，透过事物的各种表象，提示事物的本质特征，从而达到真正认识该事物的目的。作为自然科学之一的数学，分类方法的运用尤其突出，可以说是学习数学最基本的方法，作为数学基石的初中数学，更是如此。因此，教学应注重对学生分类思想的培养，让他们获取研究问题的“钥匙”。在知识的接收和技能的形成过程中，更透彻、全面地认识数学概念、公式、定理等，以养成科学的思维习惯，给问题的解决带来方便。我在平时教学中，在学生分类思想的确立方面作了一些有益的探索，谈点粗浅的看法。

纵观现行初中数学教材，不难发现，一到三年级的相关内容里，多处出现分类讨论的问题。分类定义绝对值的概念；一次函数y=kx+b、正比例函数y=kx、反比例函数y=k/x的性质，分k>0与k<0两种情况讨论；关于一元二次方程的根的情况分Δ>0，Δ=0，Δ<0三种情况讨论，关于点与圆的位置关系性质，分点在圆内，点在圆上，点在圆外三种情况讨论等。这些都充分体现了初、高中数学在知识与方法上的有机衔接，而且分类思想在中考与高考中也经常出现，因此，在教学中，对学生适时地，有意识地加强引导，逐步渗透，强化分类讨论意识是十分必要的。

一、按概念分类

初中数学课本里的有些数学概念是分类定义的。

例1实数a的绝对值，即分a>0，a=0，a<0三种情况定义的。所以，当解决式子中含绝对值的题目时，就应该分类处理。

设a是任意实数，求a与它的相反数的差的绝对值的2倍的值。

解：依题意，则：2|a-（-a）|=2|2a|，然后分a>0，a=0，a<0三种情况讨论。

二、按运算分类

我们知道，在除法运算中规定：除数不能为0。因此，对一次方程，当化为最简形式ax=b后，若未知数系数含选定字母，则须就系数分a=0与a≠0进行讨论。有些运算性质，如：不等式的基本性质2、3条，在使用是时，须分不等式两边都乘以（或除以）同一个正数与同一个负数，来决定不等号的方向是否改变。所以，对一次不等式，在化为最简形式后，若未知数系数中含待定字母，须分系数大于0，等于0，小于0三种情况讨论。

例2解关于y的不等式：m（2y-m）>2（y-3m）+5

解：原不等式变形为：2（m-1）y>（m-1）（m-5）；

（1）当m>0时，不等式解集为y>（m-5）/2；

（2）当m=0时，不等式无解；

（3）当m<0时，不等式的解集为y<（m-5）/2，通过这类题目的练习，让学生感受逻辑思维的层次性与知识的系统性，培养严谨、全面处理问题的能力。

三、按不确定分类

教学中，常遇到一些几何命题，题目本身并没有给出图形，依据条件及结论，若题图的位置或形状不止一种可能，则应全面考虑，逐个分类讨论。如：（1）直角三角形的三边为3、4、x，求x。即应分x作斜边与4作斜边两种情况求解。（2）等腰三角形周长为15，一边长为7，求另两边的长。即应分已知边作腰与作底边两种情况求解。（3）⊙O的半径是5，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离。即要分弦AB、CD在图⊙O的两侧与同侧两种情况求解。（4）两圆相切，一圆的半径是2cm，圆心距是5cm，求另一圆的半径。应分内切与外切两种情况考虑。

四、按取值分类

对于有些具体的数学问题，如：图象位置、不等式的解集、代数式的值等，它们的结果会因题中字母的不同取值而各异，此时，需对字母的取值分类讨论，方可得到正确的答案。如：

（1）已知一次函数y=（k-3）x-9，试判断直线经过的象限，就要分k>3与k<3进行讨论。

（2）在同一直角坐标系中，表示函数y=k/x，y=k（x2-1）的图象大致位置。这类图象的位置与k的符号有关，依题意需分两种情况讨论。通过作这几类的题目，让学生感受思维的深刻性与广阔性，从而培养他们合理、灵活地解决问题的能力。

五、按几何位置分类

1.与线段有关的问题，如：线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC=。

2.与等腰三角形有关的问题。

例3已知平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，-3），试在坐标轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。求出P点的坐标。

析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能呢？我们可以按腰的可能情况加以分类：

（1）∠A为顶角则AP=AB；以A为圆心以AB为半径画圆可以得到除B以外的三个交点；

（2）∠B为顶角则BA=BP；以B为圆心以BA为半径画圆可以得到除A以外的三个交点；

（3）∠P为顶角则PB=PA；P在AB的垂直平分线上画图可以得到与坐标轴的两个交。综上所述可以得到坐标轴上符合条件的八个P点。

3.与直角三角形有关的问题，如：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）个。

4.与圆有关的问题，如：点与圆、直线与圆、两圆的位置关系。

（1）半径分别为10、17的两圆相交，公共弦长为16，求圆心距。

析：本题极易漏解，原因是没有想到本题要分类讨论。实际上本题的图形是不确定的，有两种可能：①两个圆心分别在公共弦的两侧；②两个圆心在公共弦的同侧。分类画出图形，利用勾股定理，可分别解得圆心距为21或9。

（2）点M到⊙O的最长距离为5，最短距离为1，则圆的半径为。

（3）⊙O半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则AB和CD的距离为cm。

（4）相切的两圆半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距为cm。

六、按应用分类

例4某批商品，一个月仅能月初进货一次，如月初售出可获利润1000元，再将成本和利润一起投资，月末可得05%回报，如月末售出可获利1100元，但需付50元保管费，问这批货物是月初还是月末售出好？

析：应用题中的分类讨论都是在解题过程中的讨论，这时应有分类讨论的意识，需认真分析产生不同影响的因素，明确讨论对象，使题目解答完整。由本题意可知，利润与成本有关，因此有必要对成本进行讨论，当成本x=9000元时，两者均可，当成本x>9000元时，月初出售好，当成本x<9000元时，月末售出好。

分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。

数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。总之，在初中各个模块的教学中，逐步渗透用分类讨论等数学思想的去解决问题。分类讨论覆盖的知识点较多，有利于考查学生的知识面、分类思想方式多样，具有较高的逻辑性和较强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论，分级进行，获取阶段性结果。综上所述，应将分类讨论思想贯穿于教学始终，针对初中生的年龄特点，在充分发挥形象思维的同时，尝试引导他们多运用抽象思维，去解决较复杂的数学问题，久之，便会形成高级创造性思维，获得研究问题的科学思维方法，让学生更得心应手地学习数学。

[参考文献]

[1]刁卫东.如何运用分类讨论思想解题.中学数学，1997（05）.

[2]王燕春.学会分类方法，提高分类意识.中学生数学，1998（05）.

[3]彭林，刁卫东.中考数学命题热点与规律探折.中小学数学，2001.

[4]罗德成.初中数学自主学习教法初探[A].国家教师科研基金十一五阶段性成果集[C]，2010.

[5]黄德泉.新课标下例谈初中数学新课的导入[A].国家教师科研基金十一五阶段性成果集[C]，2010.