三角形中的向量问题

钱少阳

向量是一个重要的数学工具，三角形是一个基本的数学模型，二者结合相得益彰、异彩纷呈，下面列举三角形中的向量问题，展示向量工具的灵活性与重要性。

一、求内角和边长

例1.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量=（a-c，a-b），=（b，c+a），若与共线，则角C的大小为（ ）

A. B. C. D.

解析：由与共线知（a-c）（c+a）=b（a-b），整理得a2+b2-c2=ab，由余弦定理知cosC==，故C=，选择C。

例2.△ABC中，∠A=60o，∠A的平分线交BC于D点，若AB=4，且=+λ（λ∈R），则AD的长为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：由B、C、D三点共线知+λ=1，故λ=，则=+，

即-=3（-），=3，由内角平分线性质知||=3||，

则||2=（+）2=2+·+2=27，

故||=3，即AD长为3，选择B。

二、判断三角形的形状

例3.△ABC满足2=·+·+·，则△ABC是（ ）三角形。

A.等边 B.锐角 C.直角 D.钝角

解析：将已知条件整理得·=0，则CA⊥CB，故选择C。

例4.O为△ABC所在平面内一点，满足（-）·（+-2）=0，则△ABC是（ ）三角形

A.等腰 B.直角 C.等边 D.等腰直角

解析：取AB中点D，由-=，-=知+-2=+=2，又-=，

故·=0，则CD⊥AB，而CD为中线，故选择A。

三、判断三角形的心

例5.O为△ABC内一点，满足++=，则O为△ABC的（ ）

A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

解析：取AB边中点D，由向量加法的平行四边形法则知+=2，条件转化为=2，由重心性质选择A。

例6.M为平面内一点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足条件=+λ（+） （λ>0），则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

解析：令=（+），由向量加法法则知平分∠ABC，而-=，

由=λ知BP为∠ABC的平分线，故选择B。

四、求三角形的面积（面积比）

例7.已知=（2，-1），=+、=-，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为（ ）

A.3 B.6 C.9 D.12

解析：由题意||=||且⊥，即|+|=|-|且（+）·（-）=0，整理得||=||且·=0，故||=|+|=

=3，则△AOB的面积为||2=9，选择C。

五、证明三角形命题

例8.求证：三角形的三条高线共点。

已知：△ABC三边上的高线分别为AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF共点。

证明：由AD、BE相交，设交点为O，下面证明CO⊥AB，且CO与CF重合。

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴⊥，⊥，

=+，=-，

则·=（+）·（-）=（-）·（-）=·（+-）=·=0。

故⊥，即CO⊥AB，已知CF⊥AB，

由平面内过一点作已知直线的垂线有且只有一条得CO与CF重合，故AD、BE、CF共点O。

说明：用向量法还可以证明三角形的三条中线共点，三条内角平分线共点，三边的中垂线共点等。