对某地高职升本高数0715的结果存疑研究

陶印修

【摘要】本市高职升本复习指南高数教材中第103页的第10题，即关于两向量夹角的一个例题展开研究。之所以关注此题是因为，不仅该教材对此题的解法中未发现（舍去）增解而有问题，而且更为严重的问题是本市高职升本2007年高数第15题（简写为0715）的答案也多了一个增解。强调两向量夹角的唯一性，解题时应注意细节，分析增解产生的原因，介绍不产生增解的解法。最后用完善与完美两种解法来正确解答本市高职升本复习指南高数教材中第103页的第10题。

【关键词】本市高职升本高数0715，两向量的夹角，舍去增解

一、两向量夹角的唯一性

1.两向量的夹角定义

2.两向量夹角的唯一性

二、数量积关于夹角公式

由于余弦在第一象限为正，余弦在第二象限为负，故通常用数量积求两向量的夹角，即求两向量的夹角公式为：

三、模仿[1]中的解法解0715

1.0715与答案

（精通学院给出的答案与网上查到的答案均是此答案）。

2.模仿[1]中的解法解0715

下面模仿[1]（本市高职升本复习指南高数教材）中第103页的第10题的解法解0715。

四、对模仿[1]中的解法解0715的存疑研究

1.模仿[1]中的解法解0715应注意的细节

2.模仿[1]中的解法解0715应注意增解的产生

3.模仿[1]中的解法解0715的完善解法

五、完美（创新）解法解0715

下面用不产生增解的方法解0715。由方程（2）乘8加方程（1）乘15得：

六、[1]中第103页的第10题的完善、完美解法

1.[1]中第103页的第10题

最后需要说明，由于向量部分比较抽象，这也许是[1]中第103页的第10题的解题过程忽视了细节，导致产生了增解，致使0715的答案也多了一个增解（精通学院给出的答案也如此）。