这些图形是平行四边形吗

□朱元生



这些图形是平行四边形吗

□朱元生

平行四边形的主要内容是平行四边形的性质和判定，而判定平行四边形常有三种思路：①从对边考虑：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②从对角考虑：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③从对角线考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形.如果把这些条件重新组合，那么得到的四边形还是平行四边形吗？

1.一组对边平行，另一组对边相等

如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是边AB、AC上的中点，容易证得DE∥BC，BD＝CE.在四边形BCED中，虽然有DE∥BC，BD＝CE，即一组对边平行，另一组对边相等，但由于DE≠BC，显然四边形BCED不是平行四边形.

图1

结论：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.

点评：要说明一个命题成立，需要经过推理论证，而要说明一个命题不一定成立，只需举出一个反例即可.

2.一组对边平行，一组对角相等

如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形.

图2

证明：连接BD，

∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB，

∴AB＝CD.

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

结论：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.

3.一组对边相等，一组对角相等

如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且BD≠DC，作△ADE，使AE＝DC，DE＝AC，则△ADE≌△DAC，

∴∠ACD＝∠DEA，AC＝DE.

而∠B＝∠ACD，AB＝AC，

∴∠B＝∠DEA，AB＝DE.

图3

在四边形ABDE中，虽然有AB＝DE，∠B＝∠DEA，即一组对边相等，一组对角相等，但由于BD≠DC，即BD≠AE，因此四边形ABDE不是平行四边形.

结论：一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形.

4.一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线

这个问题要分两种情况讨论：

（1）一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分.

如图4，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在MN上取两点C、D，使C、D在线段AB的两侧，且OC≠OD，连接AC、BC、AD、BD，在四边形ADBC中，容易证得∠CAD＝∠CBD，且OA＝OB，即一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分，但由于OC≠OD，所以四边形ADBE不是平行四边形.

图4

结论：一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形.

（2）一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线平分另一条对角线.

如图5，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BCD＝∠BAD，且OB＝OD，求证：四边形ABCD是平行四边形.

图5

证明：假设四边形ABCD不是平行四边形，由于OB＝OD，则OA≠OC，不妨设OA＞OC，在OA上取一点E，使OE＝OC，连接BE、DE，容易证得四边形BCDE是平行四边形，则∠BED＝∠BCD，而∠BED＞∠BAD，故∠BCD＞∠BAD，这与已知条件∠BCD＝∠BAD相矛盾，这说明四边形ABCD不可能不是平行四边形，从而四边形ABCD一定是平行四边形.

结论：一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

点评：要证明一个命题成立，如果直接证明有一定的难度，可先假设它的反面成立，即命题不成立，经过推理得出矛盾，说明它的反面不成立，从而得到原命题成立，这种证明方法称为反证法.

亲爱的同学们，你是否体会到要判别一个四边形是不是平行四边形，一定要有根有据，推理论证，决不能凭空想当然.现再举出两种情况，请你试一试，你能判别它是否是平行四边形吗？如果是平行四边形，请给出证明；如果不是平行四边形，请举出反例.

1.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线.

2.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线.

参考答案：1.是平行四边形；2.不一定是平行四边形.

插图：杨明