魅力正方形，对称巧运用

□张彩明



魅力正方形，对称巧运用

□张彩明

正方形是最完美的四边形，它具有特殊的性质，利用正方形关于对角线对称的这个性质我们容易证得某些线段或角相等、某些三角形全等.

如图1，设E是正方形ABCD的对角线BD上一点，则AE＝CE.这个基本图形的结论具有一般性，而且很多有关正方形的几何题都有该图形的“影子”，巧用这一结论可以简捷地解决一些问题.

图1

一、求角度

例1如图2，正方形ABCD中，∠DAF＝26°，AF交对角线BD于E，则∠BEC的度数为_______.

图2

分析：根据对称性可知∠ECD＝∠EAD，以此作为解答本题的突破口.

解：因为对角线BD所在的直线是正方形ABCD的一条对称轴，而点E在对称轴上，点A与点C关于BD所在直线对称，又点D在对称轴上，所以△AED和△CED关于BD所在直线对称.

所以∠ECD＝∠EAD＝26°.

又BD平分∠ADC，

所以∠EDC＝45°，

所以∠BEC＝∠ECD＋∠EDC

＝26°＋45°＝71°.

二、证明线段垂直

例2如图3，在正方形ABCD中，E是AD边上的中点，BD与CE交于点F，求证：AF⊥BE.

图3

分析：要证明AF⊥BE，即证明∠1＋∠2＝90°即可.因为正方形关于对角线BD所在直线对称，根据对称性可知∠1＝∠3，然后再根据点E 是AD的中点，正方形关于AD的垂直平分线对称，得到∠2＝∠4，从而可证.

证明：因为点F在BD上，点A关于BD所在直线的对称点是点C，

所以∠1＝∠3.

又E是AD的中点，△ABE和△DCE关于AD的垂直平分线对称，

所以∠2＝∠4.

又因为∠3＋∠4＝90°，

所以∠1＋∠2＝90°，

所以AF⊥BE.

三、证明线段相等

例3如图4，点P在正方形ABCD的对角线BD上，且PE⊥AD，PF⊥AB，垂足分别是E、F.试证明EF＝PC.

图4

分析：要证明EF＝PC，直接证明比较困难.注意到四边形AEPF是矩形，可知EF＝AP，即连接AP，然后利用对称性求证.

证明：因为PE⊥AD，PF⊥AB，∠EAF＝90°，所以四边形AEPF是矩形，连接AP，可得AP＝EF.由正方形的对称性可知AP＝CP，所以EF＝PC.

四、求最小值

例4如图5，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点. F是BD上的一个动点（F与B、D不重合）.设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明点F此时的位置.

图5

分析：由正方形的对称性知AF＝CF，所以m＝EF＋AF，只有当A、F、E三点在同一条直线上，m才能取得最小值.此时F移动到AE与BD的交点F0处.

解：由对称性可知，AF＝FC，所以m＝EF＋CF＝EF＋AF.

仅当A、F、E在一条直线时，m取得最小值，此时连接AE交BD于 F（0图略），有故m的最小值为此时F是AE与BD的交点.

通过上面的解答，使我们意识到在学习几何时，要多思多想，善于发现和总结各种基本图形的特点和性质，并在解题中灵活运用，做到使知识融汇贯通、举一反三.