非Lipschitz条件下反射倒向随机微分方程解的性质

梁青

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

非Lipschitz条件下反射倒向随机微分方程解的性质

梁青

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

文章给出了在非Lipschitz条件下一列无穷区间上的反射倒向随机微分方程解的若干性质.

反射倒向随机微分方程；障碍；一致有界

倒向随机微分方程（BSDE）是上世纪90年代由Pardoux和Peng［1］引入，用于解决数理金融学中最优投资比例问题.例如，Fan等［2］人在经典的Lundbeng风险模型的基础上，加入风险投资和无风险投资，建立了与BSDE密切相关的HJB方程，得到生存概率最大的最优解与初始盈余的关系.Karoui［3］等人研究了一类带有反射边界的倒向随机微分方程（RBSDE），这类方程事先给定障碍St，并在一定条件下证明方程三元组解（yt，zt，Kt）的存在唯一性，其中解的一部分为一个增过程Kt起到推动作用，使得解始终保持在障碍St上方，同时满足推动作用最小.Deng等［4］研究了Lipschitz条件下这类RBSDE的解的收敛性.本文研究在比Lipschitz条件弱的非Lipschitz条件下RBSDE的解的一些性质.

设（Ω，F，P）是完备概率空间，（Bt）0≤t≤+∞是d维标准布朗运动，（Ft）t≥0是由它产生的σ-代数流，其中F0包含F的所有零测集.

考虑一列无穷区间上的RBSDE：

该不等式是非Lipschitz条件

ρ（·，·）∶［0，+∞］×R+→R+满足：

（1）∀t∈［0，+∞］，ρ（t，u）关于u是连续不降的凹函数，

（H3）障碍｛St∶t≥0｝是一个连续的循序可测过程，

1 RBSDE解的一致有界性

定理1 如果ξi在L（2Ω，F，P）中关于i一致有界，在S2中关于i一致有界，f（it，0，0）在M2中关于i一致有界，，其中M1，M2是正常数，则在L2（Ω，F，P）中关于i一致有界在M2中关于i一致有界

两边取期望

其中，Ck，k=1，2，3，4，5是正常数.

其中，C6是正常数.由（2）（3）知结论成立.

2 RBSDE的解是相应空间中的Cauchy列

由Gronwall引理，

C7是正常数.

由Burkholder-Davis-Gundy不等式，

C8是正常数.由于｛ξi｝是L（2Ω，F，P）中的Cauchy列，且

故结论得证.

［1］Pardoux E，Peng S G.Adapted solution of a backward stochastic differential equation［J］.Systems and Control Letters，1990，14：55-61.

［2］樊涛，陈传钟，马丽.带部分风险资产的最优投资问题［J］.海南师范大学学报：自然科学版，2013，26（2）：129-132.

［3］Karoui EI，Kapoudjian N，Pardoux C，et al.Reflected solutions of backward SDE’s and related obstacle problems for PDE’s［J］. The Annals of Probability，1997（2）：702-737.

［4］邓伟，吴臻.带反射边界的倒向随机微分方程解的收敛性［J］.应用概率统计，2011，27（4）：346-358.

［5］Hua W，Jiang L，Shi X J.Infinite time interval RBSDEs with non-Lipschitz coefficients［J］.Journal of the Korean Statistical Society，2013，42：247-256.

责任编辑：刘 红

Properties of the Solutions to the Reflected Backward Stochastic Differential Equations Under a Non-Lipschitz Condition

LIANG Qing
（School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper we obtain some properties of the solutions to the reflected backward stochastic differential equations in infinite horizo nunder a non-Lipschitz condition.

reflected backward stochastic differential equation；barrier；uniform boundness

O 211.63

A

1674-4942（2016）02-0127-04

2016-03-06