刘朝美,倪维丹(大连交通大学理学院,辽宁大连116028)*
Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性
刘朝美,倪维丹
(大连交通大学理学院,辽宁大连116028)*
对单位圆盘的Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性及亚正规性展开了研究,得到了带有调和多项式符号的斜Toeplitz算子是正规的或亚正规的充要条件是其符号函数为零函数.
Bergman空间;斜Toeplitz算子;正规性;亚正规性
1996年,Mark引进了Hardy空间上斜Toeplitz算子的概念[1],介绍了该类算子的背景,讨论了该类算子的若干性质.他对该类算子的谱等性质也展开了深入的讨论[2-4].Arora和Batra通过对斜Toeplitz算子定义的推广,得到k阶斜Toeplitz算子的概念,并对该类算子的性质展开了一系列的讨论[5-7].
2004年,安恒斌和蹇人宜将斜Toeplitz算子的定义推广到了单位圆盘的Bergman空间上,并对该类算子的有界性、紧性等性质展开了研究[8].既然可以将Hardy空间上的斜Toeplitz算子推广为k阶斜Toeplitz算子,那么人们自然会想到将Bergman空间上斜Toeplitz算子的概念进行推广.2007年,Yang、Leng和Lu给出了Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的概念,并对该类算子的谱、交换性等性质展开了研究[9].
此后,人们又对该类算子的交换性、有界性等性质展开了研究,得到了一些结论[10-11].
对函数空间上斜Toeplitz算子的性质进行研究时,人们总是希望能够将该类算子的性质由其符号函数给出刻画.本文对单位圆盘的Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的性质展开了研究,得到了带有调和多项式符号的k阶斜Toeplitz算子是正规的或亚正规的充要条件是其符号函数为零函数.
设C表示复平面,D = { z∈C: | z |<1}为C上的单位开圆盘.用dA表示D的规范化面积测度,即.L2( D)表示在D上平方可积的可测函数全体构成的Hilbert空间.设Bergman空间A2( D)为L2( D)中所有解析函数构成的Hilbert空间,其一组正交基为{ zn: n∈Z+} ( Z+为非负整数集).设L∞( D)表示D上本性有界复可测函数全体构成的Banach空间,其上的范数为
设k≥2是固定的正整数,定义在A2( D)上的算子Wk[9]为
且Wk是A2( D)上的有界线性算子,且共轭算子,其中n∈Z+.
设φ∈L∞( D),Bergman空间A2( D)上以函数φ为符号的k阶斜Toeplitz算子Bφ定义为Bφ= WkTφ,其中Tφ是A2( D)上以函数φ为符号的Toeplitz算子[9].而且A2( D)上以本性有界函数为符号的k阶斜Toeplitz算子均是有界线性算子[9].
本节将对Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性展开讨论.利用函数的性质可得以下引理.
引理1设k,s,t,q∈Z+,r = s + t + q>0,若定义在实数域R上的函数h( x)和g( y)为
Hilbert空间上有界线性算子A是正规的,若AA*= A*A.现在讨论Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的正规性.
证明 若φ= 0,则显然可得Bφ是正规的.若Bφ是正规的,则,从而对任意的非负整数n
既然m1,m2均为非负整数,不妨设m1= sk + q1,m2= tk + q2,其中s,t,q1,q2∈Z+且q1<k,q2<k.由于式( 1)中n的任意性,不妨取n = ( s + t + q) k≥0,q = max{ q1,q2},从而可得
故由式( 1)知可得
于是由引理1和式(2)可得a0= a1=…= am1= b1= b2=…= bm2= 0,即φ= 0.定理1结论成立.
在本节中我们将对Bergman空间上k阶斜Toeplitz算子的亚正规性展开讨论,得到以下结论.Hilbert空间上有界线性算子A是亚正规的,若A*A≥AA*.
证明 若φ= 0,则显然可得Bφ是亚正规的.若Bφ是亚正规的,则对任意的f∈A2( D)有
既然m1,m2均为非负整数,不妨设m1= sk + q1,m2= tk + q2,其中s,t,q1,q2∈Z+且q1<k,q2<k.由f的任意性,不妨取f = z( s+t+q) k,其中q = max{ q1,q2},于是可得
由不等式( 3)可得
既然对任意的l∈[0,sk + q],
1;且对任意的l∈[0,sk + q2],
故可得
从而可得a0= a1=…= am1= b1= b2=…= bm2= 0,即φ= 0.命题成立.
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[3]MARK C HO.Adjoints of slant Toeplitz operators[J].Integral Equations and Operator Theory,1997,29( 3) : 301-312.
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Normality and Hyponormality of k-Order Slant Toeplitz Operators on Bergman Space
LIU Chaomei,NI Weidan
( School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)
The normality and hyponormality of k -order slant Toeplitz operator on the Bergman space are discussed,and obtaining that the necessary and sufficient condition for the normality and hyponormality of k -order slant Toeplitz operator with harmonic polynomial symbol is that its symbol function are zero.
bergman Space; slant Toeplitz operators; normality; hyponormality
A
1673-9590( 2016) 01-0113-04
2015-05-07
国家自然科学基金资助项目( 11301046,11226120)
刘朝美( 1980-),女,副教授,博士,主要从事函数空间及其算子理论的研究
E-mail: lcm@ djtu.edu.cn.