一类粘性四阶退化抛物方程弱解的存在性

梁波，张亚杰，彭曦霆，高馨(大连交通大学理学院，辽宁大连116028)*

一类粘性四阶退化抛物方程弱解的存在性

梁波，张亚杰，彭曦霆，高馨
(大连交通大学理学院，辽宁大连116028)*

研究一类粘性四阶退化抛物方程弱解的存在性问题.在初始函数的一些假定下，首先考虑半离散问题，利用极小元泛函方法证明构造的椭圆方程弱解的存在性;其次构造此粘性四阶退化抛物方程的逼近解，通过选取恰当的检验函数对逼近解的作一致性估计，得到逼近解的收敛性结果，进而获得弱解的存在性.

退化抛物方程;弱解;存在性

0 引言

本文考虑如下粘性四阶退化抛物方程的弱解问题

其中，Ω⊂RN为具有光滑边界的有界开区域，p＞1为常数，u0( x)为初值函数，k＞0为粘性系数，表示粘性松弛因子或粘性.称为p－双调和算子.文献［1］对于齐次方程情形给出了解的存在性，这里重点关注非齐次情形.方程( 1)为文献［2］提出的粘性四阶退化抛物方程的变形.定义弱解如下:

定义1一个函数u被称为问题( 1)～( 3)的弱解，若其满足如下条件:

( 1) u∈L∞( 0，T;C( 0，T; L∞(Ω) )

( 3)在L2(Ω)中，u( x，0) = u0( x).

为叙述方便，假设k = 1，当k≠1，时，证明方法相同.本文约定C表示一般的实常数，不同位置也许取值不同.主要结论如下:

定理1 设f∈Lp'(Ω)，，则( 1)～( 3)存在弱解

1 半离散问题

为证明定理1，首先进行时间离散化.设N为正整数，把区间( 0，T)分为N等分，取0，考虑如下椭圆问题

其中，u0是初值函数，f( x，( k + 1) h) = fk+1.

引理1 对固定的k，若uk∈W2，p(Ω)∩，存在H1(Ω)，使对有

这里也称满足( 6)的函数uk+1为问题( 4)～( 5)的弱解.

由( 1)知

故uk→u弱收敛于，Δuk→Δu弱收敛于

2 弱解存在性

问题( 1)～( 3)的逼近解定义如下:

其中，uh( x，0) = u0( x)，χk+1( t)是区间[kh，( k－1)h]上的特征函数.问题( 1)～( 3)所描述的解将由{uh}的某个子序列的极限获得.为此需要一些关于{uh}的一致性估计.

引理2问题( 4)～( 5)的弱解uk满足

其中，C是不依赖于h和k的常数.

证明 在( 6)中取φ= uk+1，有

其中，

应用Young不等式并整理，得

由于上式第二项非负，应用Young不等式，从而有

引理3对于问题( 1)～( 3)的逼近解{uh}，存在{uh}的一个子序列(此处及后面都用原来

对任意的，取φ( x，( k + 1) h)为检验函数，代入式( 6)中，有

把上式关于k从0～N－1相加，并结合式( 7)和式( 10)且φ( x，Nh) =φ( x，T) = 0，则

其中，

令h→0可得

由上式可得

则

即

即

在积分等式( 6)中取φ= uk+1，有

由于任意的检验函数φ和ε＞0，以下不等式均成立

［1］郭金勇.退化拟抛物方程弱解的存在性［J］.南京师大学报(自然科学版)，2013( 2) : 15-19.

［2］COLEMAN B D，DUFFIN R J，MIZEL V J.Instability，uniqueness and non-existence theorems for the equations，ut= uxx－uxtxon a strip［J］.Arch Rat Mech Anal.，1965，19( 2) : 100-116.

［3］陈亚淅，吴兰成.二阶椭圆型方程与椭圆型方程组［M］.北京:科学出版社，1991: 46.

［4］ADAMS R A.Soblev Space［M］.［s.l.］Academic Press，1975.

［5］XU M，ZHOU S.Existence and Uniqueness of weak solutions for a generalized thin film equation［J］.Nonlinear Anal.，2005，60: 755-774.

［6］SIMON J.COMPACT sets in the space Lp( 0，T; B) ［J］.Ann Math Pura Appl.，1987，146( 1) : 65-96.

Study of Weak Solutions to a Fourth Order Degenerate Parabolic Equation

LIANG Bo，ZHANG Yajie，PENG Xiting，GAO Xin
( School of Mathematics and Physics，Dalian Jiaotong University，Dalian 116028，China)

The weak solutions of a class of fourth order degenerate parabolic equation are studied.Under some assumptions on the initial value，the first thing is to cosider a discrete problem.By using minimizer functional method，the existence of weak solution to the elliptic equation is proved.Secondly，the approximation solutions of the four order degenerate parabolic equation are constructed.By choosing reasonable test functions to get the necessary uniform estimations，the convergence results can be obtained and then the existence of the weak solutions is proved.

degenerate parabolic equation; weak solutions; existence

A

1673-9590( 2016) 01-0109-04

2015-05-07

国家自然科学基金资助项目( 11201045)

梁波( 1980－)，男，副教授，博士，主要从事偏微分方程的研究

E-mail: cnliangbo@163.com.