双Lipschitz等价的两均匀Cantor集相似压缩不动点坐标的关系

刘　静

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000



双Lipschitz等价的两均匀Cantor集相似压缩不动点坐标的关系

刘静

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州，234000

摘要：首先利用双Lipschitz等价的条件，构造了满足双Lipschitz等价的两均匀Cantor集E1和E2，并研究了它们相似压缩不动点的坐标公式，同时通过一个函数建立了两坐标公式的关系。最后，对与E2满足双Lipschitz等价条件的均匀Cantor集E的相似压缩不动点坐标公式给出了一个重要猜测。

关键词：双Lipschitz等价; 均匀Cantor集; 坐标公式; 相似压缩不动点

双Lipschitz映射保持集的许多“分形性质”不变[1]167。例如，维数是双Lipschitz不变量，这里的维数表示Hausdorff维数[2]47，上、下盒维数或任何合理定义的其他维数。研究自相似集的相似压缩不动点是当前分形学的一个前言课题。找到自相似集的相似压缩不动点，便可得到自相似集在该点处的局部性质，对认识自相似集的整体结构有重要意义。本文主要讨论满足双Lipschitz等价的两个均匀Cantor集的相似压缩不动点之间的关系，并给出一个相关猜测。

1基本概念与已知结论

一些基本概念与符号见参考文献[1]和[2]。

定义1设集E和F是两自相似集，如果存在双Lipschitz映射，令f:E→F，满足下式的双射：

则集E和F称为Lipschitz等价，其中,0

引理3设E和F是m-λ1均匀Cantor集和n-λ2均匀Cantor集，则E和F是双Lipschitz等价的充要条件是

dimHE=dimHF

且m=nq

(1)

或n=mq

(2)

其中q∈(0,+∞)[2]170。

2重要结果

2.1两均匀Cantor集的构造

由于dimHE1=dimHE2=log32，且存在正整数q=2使条件(1)成立，则由引理3知E1和E2满足双Lpschitz等价。

2.2E1和E2的相似压缩不动点

在证明定理1之前,先考察E1的第k级压缩与第k+1级压缩得到的相似压缩不动点坐标之间的关系。

注1由定义3知,E1左右两个端点0和1始终是它的各级相似压缩不动点，下面讨论E1的其他相似压缩不动点情况。

(3)

(4)

证明：由引理条件知：

成立，则由相似压缩映射的性质有：

|Si1∘Si2∘…∘Sik(x0)-Si1∘Si2∘…∘Sik(S1(x1))|

(5)

(1)若x0≥r1x1，则有：

故x0≥x1。

(5)式两边同时去绝对值得：

(2)若x0≤r1x1，则有：

故有x0≤x1。

此时，(5)式两边同时再去绝对值得：

故引理证毕。

以下利用引理4和数学归纳法证明定理1。

证明:(1)当k=1时，结论显然成立。

故此时定理1结论也成立，综上所述定理1成立。

注2E1的相似压缩不动点0和1也满足定理1的结论[7]。

定理2E2的相似压缩不动点的坐标为

证明：同定理1。

2.3E1与E2相似压缩不动点坐标之间的关系及相关猜测

由定理1和定理2结论知，E1与E2相似压缩不动点坐标公式在形式上具有形似性[8]，若建立函数：

(6)

于是，可以提出以下猜测：

参考文献：

[1]肯尼思·法尔科内．分形几何中的技巧[M]．曾文曲,王向阳,陆夷,译.沈阳：东北大学出版社，1999：167-172

[2]肯尼思·法尔科内．分形几何数学基础及其应用[M]．曾文曲,刘世耀,戴连贵,译.沈阳：东北大学出版社，1991：45-53

[3]Zhou Z L,Feng L.Twelve open problems on the exact value of the Hausdorff measure and on topological entropy: a brief survey of recent results[J].Nonlinearity,2004,17(2):493-502

[4]文胜友，许绍元．关于自相似集的Hausdorff测度[J]．数学学报，2001，44(1)：117-124

[5]许绍元，周作领．关于满足强分离开集条件的自相似集的Hausdorff测度[J]．数学进展，2005，34(5)：545-552

[6]戴美凤，殷启正．两均匀康托集双李卜希兹等价的条件[J]．洛阳大学学报，2002，17(2)：18-20

[7]刘静，孙善辉．一类直线上自相似集的相似压缩不动点的分布[J]．大学数学，2011，27(3)：66-69

[8]刘静．一类推广的Cantor集相似压缩不动点的计算机实现[J]．蚌埠学院学报，2012，1(3)：29-31

(责任编辑：汪材印)

The Relationship of Coordinate Formulas of the Contractingsimilarity Fixed

Points for Two Uniforms Cantor Sets to Be Bi-Lipschitz Equivalent

LIU Jing

School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，Suzhou Anhui，234000，China

Abstract:First,we construct two uniform Cantor sets E1 and E2,which to be bi-Lipschitz equivalent, using the condition of bi-Lipschitz equivalent. Then we research the coordinate formulas for the contracting-similarity fixed points of them. Moreover, we establish the relationship between two coordinate formulas using a function. At last , an important conjecture is given for the formula of the contracting-similarity fixed point of the uniform Cantor set E,and E2 are to be bi-Lipschitz equivalent.

Key words:Difference equations;bi-Lipschitz equivalent;uniform Cantor set; coordinate formula; contracting-similarity fixed point

中图分类号：O189.1

文献标识码：A

文章编号：1673-2006(2016)02-0097-03

作者简介：刘静(1981-)，女，安徽宿州人，硕士，讲师，主要研究方向：分形几何。

收稿日期：2015-12-12

doi:10.3969/j.issn.1673-2006.2016.02.027