两种广义F-压缩映像相关的不动点定理

童蓓蕾　朱军芳

(1.西南科技大学理学院　四川绵阳　621010；2.西南科学大学理学院模型与算法研究所　四川绵阳　621010)



两种广义F-压缩映像相关的不动点定理

童蓓蕾1,2朱军芳1

(1.西南科技大学理学院四川绵阳621010；2.西南科学大学理学院模型与算法研究所四川绵阳621010)

摘要：给出了广义-F-压缩映像和广义-F-Suzuki-压缩映像的概念，提出并证明了两种压缩映像条件下的不动点定理，推广了WARDOWSKI和PIRI的不动点定理。

关键词：不动点压缩映像F-压缩映像F-Suzuki-压缩映像广义-F-压缩映像广义-F-Suzuki-压缩映像

压缩映像和不动点定理是非线性分析中非常重要的概念和定理，已经有大量文献对其进行过研究[1，4-7]。本文给出两个广义的压缩映像，并证明了相应的不动点定理。

1背景介绍

2009年,文献[5]提出如下F-压缩映像的定义:

定义1(F-压缩映像)假设(X,d)是一个度量空间，T是一个由X到X的自映像。如果对于X中任意两点x,y都存在一个正数τ, 使得下式成立：

[d(Tx,Ty)>0⟹

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(d(x,y))]

(1)

则称T是F-压缩映像。此处，F:+→满足下列3条性质：

(F1)F是严格单增的，即，对于任意的x,y∈+，若x

文献[5]还给出了一个修正的Banach压缩映像原理：

PIRI等2014年提出并证明了F-Suzuki-压缩映像原理[1]。

定义2(F-Suzuki-压缩映像)假设(X,d)是一个度量空间。T：X→X称为F-Suzuki-压缩映像，如果对于X中任意两点x,y而言都存在一个正数τ, 使得下式成立：

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(d(x,y)) ]

(2)

2两个广义压缩映像原理

本文在更弱的条件下提出了两个压缩映像原理。这两个压缩映像原理是对文献[5]和文献[1]所提出的压缩映像原理的推广。

定义3(广义-F-压缩映像)假设(X,d)是一个度量空间。T：X→X称为广义-F-压缩映像，如果对于X中任意两点x,y都有存在一个正数τ, 使得下式成立：

[d(Tx,Ty)>0⟹

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(M(x, y))]

(3)

证明：任选x0∈X，令：

x1=Tx0,

x2=Tx1=T2x0,…,xn+1=Txn=Tn+1x0,

(4)

下面我们用反证法证明此定理。

首先证明不动点的存在性。

τ+F(d(Txn-1,Txn))≤(M(xn-1,xn))

即F(d(Txn-1,Txn))

情况1：当M(xn-1,xn)=d(xn-1,xn)时；

情况2，当M(xn-1,xn)=d(xn-1,Txn-1)时；

由于情况1和情况2可以归结到F-压缩映像的情形，所以易得：

(5)

情况3，当M(xn-1,xn)=d(xn,Txn)=d(Txn-1,Txn)时，得到矛盾。

接下来证明在情况1和情况2下不动点的存在性。

p(n)>q(n)>n,

d(xp(n),xq(n))≥ε,

d(xp(n)-1,xq(n))<ε,∀n∈

(6)

与文献[1]方法类似，可得：

(7)

(8)

下面我们证明：

d(Txp(n),Txq(n))=

d(xp(n)+1,xq(n)+1)>0,∀n≥N

(9)

反证。

假设存在m≥N使得：

d(xp(m)+1,xq(n)+1)=0

(10)

则由(7)式，(8)式，(10)式可得：

ε≤d(xp(m),xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m)+1)+d(xq(m)+1,xq(m))=

d(xp(m),Txp(m))+d(xp(m)+1,xq(m)+1)+

矛盾，故(9)式得证。

由(9)式和定理的假设得：τ+F(d(Txp(n),Txq(n)))≤F(M(xp(n),xq(n))),∀n≥N

(11)

情况1，当M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),xq(n))时，同文献[1]，可以得到一个矛盾。

情况2，当M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),Txp(n))时，由(5)式得到一个矛盾。

情况3，当M(xp(n),xq(n))=d(xq(n),Txq(n))时，同情况2，矛盾。

所以映射T在X中存在不动点。

其次，证不动点的唯一性。

反证法：设T在X中存在两个不动点x,y，则有Tx=x≠y=Ty.故d(Tx,Ty)=d(x,y)>0.于是由T为广义-F-压缩映像得：

F(d(x,y))=F(d(Tx,Ty))<

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(M(x,y))

下面同样分3种情况讨论。

情形1，如果M(x,y)=d(x,y)，同文[1]献，得到矛盾。

情形2，如果M(x,y)=d(x,Tx)，得到矛盾。

情形3，如果M(x,y)=d(y,Ty)，与情形2类似，得到矛盾。

综上，T在X中不动点唯一。定义4(广义-F-Suzuki-压缩映像) 假设(X,d)是一个度量空间。T：X→X称为广义-F-Suzuki-压缩映像，如果对于X中任意两点x, y都存在一个正数τ, 使得下式成立：

τ+F(d(Tx,Ty))≤F(M(x,y))]

(12)

不难发现，当M(x,y)=d(x,y)时，广义-F-Suzuki-压缩映像实际上就是F-Suzuki-压缩映像。

证明：任选x0∈X，令：

x1=Tx0,

x2=Tx1=T2x0,…,xn+1=Txn=Tn+1x0,

(13)

下面我们用反证法证明此定理。

首先证明不动点的存在性。

(14)

于是，由T是广义-F-Suzuki-压缩映像知，对∀n∈有：τ+F(d(Txn,T2xn))≤F(M(xn,Txn)),即F(d(xn+1,Txn+1))≤F(M(xn,Txn))-τ.

情况2，当M(xn,Txn)=d(xn,Txn)时，同上。

情况3，当M(xn,Txn)=d(Txn,T2xn)时，得到F(d(xn+1,Txn+1))≤F(d(xn+1,Txn+1)-τ，因为τ>0，所以这是个矛盾式。故存在∀n∈使得：d(xn,Txn)=0，即存在不动点。

由情况1、情况2我们得到：

(15)

下面我们证明在情况1、情况2下T存在不动点。

p(n)>q(n)>n,

d(xp(n),xq(n))≥ε

d(xp(n)-1,xq(n))<ε,∀n∈

(16)

(17)

(18)

接下来证明结论：

d(Txp(n),Txq(n))=

d(xp(n)+1,xq(n)+1)>0,∀n≥N

(19)

反证。

假设存在m≥N使得：

d(xp(m)+1,xq(n)+1)=0

(20)

则由(17)式，(18)式，(20)式可得：

ε≤d(xp(m),xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m))≤d(xp(m),xp(m)+1)+

d(xp(m)+1,xq(m)+1)+d(xq(m)+1,xq(m))=

d(xp(m),Txp(m))+d(xp(m)+1,xq(m)+1)+

矛盾，故(19)式得证。

由(19)式和定理的假设得：

τ+F(d(Txp(n),Txq(n)))≤

F(M(xp(n),xq(n))),∀n≥N

(21)

情况1，当M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),xq(n))时，同文献[1]，可以得到一个矛盾。

情况2，当M(xp(n),xq(n))=d(xp(n),Txp(n))时，由式(15)得到一个矛盾。

情况3，当M(xp(n),xq(n))=d(xq(n),Txq(n))时，同情况2，矛盾。

所以映射T在X中存在不动点。

其次，证不动点的唯一性。

反证法：设T在X中存在两个不动点x*,y*，则有Tx*=x*≠y*=Ty*.因此d(Tx*,Ty*)=d(x*,y*)>0，由T为广义-F-Suzuki-压缩映像

F(d(x*,y*))=F(d(Tx*,Ty*))≤

F(M(x*,y*))-τ.

下面同样分3种情况讨论。

情形1，如果M(x*,y*)=d(x*,y*)，同文献[1]，得到矛盾。

情形2，如果M(x*,y*)=d(x*,Tx*)，得到矛盾。

情形3，如果M(x*,y*)=d(y*,Ty*)，与情形2类似，得到矛盾。

综上，T在X中不动点唯一。

3结论

本文提出了广义-F-压缩映像和广义-F-Suzuki-压缩映像的概念，给出并且证明了广义-F-压缩映像原理和广义-F-Suzuki-压缩映像原理。这两个压缩映像原理分别是对文献[5]和文献[1]中所提出的压缩映像原理的推广和改进。

参考文献

[1]PIRI,KUMAM.SomefixedpointtheoremsconcerningF-contractionincompltetmetricspaces[J].FixedPointTheoryandApplications, 2014,(1):1-11.

[2]JLELIM,SAMETB.AnewgeneralizationoftheBanachcontractionprinciple[J].JournalofInequalitiesandApplications, 2014, (2):374-388.

[3]WARDOWSKID,DUNGNV.FixedPointsofF-weakcontractionsoncompletemetricspaces[J].Demon-stratioMathematica, 2014, 47(47):146-155.

[4]ABBASM,SINTUNAVARATW,KUMAMP.CoupledfixedpointofgeneralizedcontractivemappingsonpartiallyorderedG-metricspaces[J].FixedPointTheoryandApplications, 2012, (46):1-12.

[5]WARDOWSKI,D.Fixedpointsofanewtypeofcontractivemappingsincompletemetricspaces.FixedPointTheoryandApplications, 2009,10(2):347-363.

[6]SECELEANNA.IteratedfunctionsystemsconsistingofF-contractions.FixedPointTheoryandApplications,2013,(1):1-13.

[7]SUZUKIT.Anewtypeoffixedpointtheoreminmetricspaces.NonlinearAnalysisTheoryMethodsandApplications,2009,71(11):5313-5317.

[8]EDELSTEINM.Onfixedandperiodicpointsundercontractivemappings[J].J.Lond.Math.Soc. 1962:74-79.

Two Fixed Point Theorems Concerning Augmented F-Contraction in Complete Metric Spaces

TONG Bei-lei1,2, ZHU Jun-fang1

(1.SchoolofSciences,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan,China;2.InstituteofModelandAlgorithm,SchoolofSciences,SouthwestUniversityofScienceandTechnoloty,Mianyang621010,Sichuan,China)

Abstract:In this paper, we propose two conceptions of augmented-F-contraction and Augmented-F-Suzuki-contraction. Fixed point theorems for Augmented-F-contraction and Augmented-F-Suzuki-contraction are proved respectively. Those two contraction theorems generalize the contraction theorems of WARDOWSKI and PIRI.

Key words:Fixed piont; Contraction; F-contraction; F-Suzuki-contraction; Augmented-F-contrction; Augmented -F-Suzuki-contraction

中图分类号：O17

文献标志码：A

文章编号：1671-8755(2016)01-0103-04

作者简介:童蓓蕾(1976—)，女，讲师，研究方向为变分不等式及其图像处理。E-mail: beileitong@163.com

基金项目:四川省教育厅重点项目(15ZA0112)。

收稿日期：2015-06-04