导数在中学数学的应用

陈芙蓉

摘 要：本文通过具体实例阐述了利用导数判断函数的单调性、证明不等式、求函数的极值与最值、求函数的解析式、进行数列求和、求参数的取值范围及解决一些应用问题，目的是使学生更好的理解导数在中学数学的应用，以便学生解决一些实际问题。

关键词：导数；函数；应用

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）08-014-01

微积分是数学的重要分支，导数与微分是微积分的一个重要组成部分。一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具。另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。同时，导数的应用这部分知识也正在作为高考的一个热点越来越多的出现在高考试卷中，为了使那些参加高考的考生在遇到这类题目时不再感到束手无策，通过归纳、总结得出导数在中学数学中主要有以下几点应用：

一、利用导数判断函数的单调性

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，在中学数学学习过程中，我们经常遇到一些高次函数的单调性问题，当我们用常规思路去解时，发现步骤非常繁琐，若利用导数，则发现解法十分简捷。

例1设 ，求函数 的单调区间、

分析：本题着重考查函数的单调性，运用导数研究函数的基本性质，同时考查学生的运算能力和逻辑思维能力。为了加强对学生能力的考查，本题给出的函数 中不仅设置了参变量a，而且还增加了复合函数 的导数的运算问题.解决本题首先是正确求出导数 ，然后解关于 的不等式 或 ，解不等式时，又要对a实施分类讨论，最后求出x的取值范围。

二、利用导数证明不等式

不等式的证明是数学学科经常遇到的问题，中学已学过一些简单不等式的证法，但有些问题也很难下手，而导数的应用又为我们证明不等式开辟了一条新的途径.主要有以下几种求导方法。

例1证明Jordan不等式：若 ，则

证明：令 ，则

利用 知 ，由此得 ，因此 在 内是减函数.又因为 在 处连续，故可得： 即 ，当 时，上式显然成立，因此当 时，恒有

“学以致用”这是数学教育改革所关注的热点，而函数与最值问题的应用是高考命题人员关注的焦点.对这类问题有些运用旧知识可以解决，但也有一些题目要利用求导的方法才能彻底求解。高中数学新教材中增加的导数初步知识，为高中数学注入了新的活力，有利于沟通初高等数学的联系，因此导数的应用将成为新教材高考试题的热点，所以在教学中，穿插与渗透导数的应用，培养学生应用导数的意识和能力应引起人们的高度重视，特别是复习以函数为背景或解决与函数有关的方程，不等式及应用问题时，渗透导数的应用，拓宽解题思路，在应用中增强学生用数学的意识，开拓思维，培养创新精神。

参考文献：

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