GFC-空间中的GFS-KKM定理及其对极大元的应用

文开庭,　李和睿

(贵州工程应用技术学院 土木建筑工程学院, 贵州 毕节 551700)



GFC-空间中的GFS-KKM定理及其对极大元的应用

文开庭,李和睿

(贵州工程应用技术学院 土木建筑工程学院, 贵州 毕节 551700)

摘要：引入GFC-空间中的GFS-KKM映射、G(KS)-映射和G(KS)-优化映射,建立GFC-空间的GFS-KKM定理,作为应用,获得G(KS)-映射和G(KS)-优化映射的极大元定理.结论统一、改进和推广一些近期文献的已知结果.

关键词：GFC-空间; GFS-KKM映射; G(KS)-映射; G(KS)-优化映射; 极大元

1预备知识

2009年,P. Q. Khanh等[1-2]引入了GFC-空间,2010年,P. Q. Khanh等[3]建立了GFC-空间中新的极大元定理、重合定理和相交定理.2011年,K. T. Wen等[4-5]得到了GFC-空间中新的相交定理、变分不等式、不动点定理和带上下界的广义平衡问题解的存在定理.文献[6]获得了GFC-空间中的KKM定理、Browder不动点定理等,文献[7-9]研究了GFC-空间中的匹配定理、不动点定理、极大极小不等式、鞍点定理、截口定理、重合定理、乘积GFC-空间中的极大元定理、广义混合拟平衡问题系统解的存在定理.文献[10-12]研究了H-度量空间和L-凸空间的KKM定理.文献[13-14]研究了FC-空间中的不动点.本文的目的是引入GFC-空间中的GFS-KKM映射、GKS-映射和GKS-优化映射;建立GFC-空间中GFS-KKM映射的GFS-KKM定理,作为应用,获得了GKS-映射和GKS-优化映射的极大元定理.我们的结论统一、改进和推广了一些近期文献的已知结果.

本文沿用文献[1-9]的相关记号、概念和术语,并引入如下概念.

定义 1.1设(X,Y,Φ)为GFC-空间,Z≠Ø,S:X→Z为单值映射.F:Y→2Z称为GFS-KKM映射,若对

有

定义 1.2设(X,Y,Φ)为GFC-空间,Z为拓扑空间,K为Z中的非空紧集,S:X→Z为单值映射.F:Z→2Y称为GKS-映射,若F有相对于K的弱紧局部交性质,且对

有

注 1.1定义1.2统一推广了文献[15-16]的W-映射、文献[17]的定义1、文献[18]的定义1.1.

定义 1.3设(X,Y,Φ)为GFC-空间,Z为拓扑空间,K为Z中的非空紧集,S:X→Z为单值映射.F:Z→2Y称为GKS-优化映射,若对∀z∈Z满足F(z)≠Ø,存在Fz:Z→2Y和z在Z中的开邻域N(z)使得：

2) ∀t∈N(z),F(t)⊂Fz(t);

3) ∀N={y0,y1,…,yn}∈〈Y〉,∀{yi0,yi1,…,yik}∈〈N〉,

2主要结果

证明因F为GFS-KKM映射,故对

有

进而

设

首先,因F是紧闭值的,故对∀i∈{0,1,…,n},F(yi)是紧闭集,而S连续,故(S-1F)(yi)是紧闭集.又因φN(△n)紧,故对

为闭集.据φN的连续性,对

为闭集.

其次,因φN(△k)⊂φN(△n)且

故

于是

所以

进而

注 2.1定理2.1统一改进和推广了文献[24]的定理2.1、文献[25]的引理2.6、文献[26]的定理3.2、文献[27]的定理1、文献[28]的定理1.1、文献[29]的定理2.1,等.

定理 2.2设(X,Y,Φ)为GFC-空间,Z为拓扑空间,K为Z中的非空紧集,S∈C(X,Z),F:Z→2Y为GKS-映射.若存在M∈〈Y〉使得

有

于是

即

于是

注 2.2定理2.2统一改进和推广了文献[15]的定理1、文献[16]的定理1、文献[17]的定理1、文献[18]的定理2.1,等.

证明若结论不然,即

1) ∀z∈K,F(z)≠Ø.

因F为GKS-优化映射,故对∀z∈K,存在Fz:Z→2Y和z在Z中的开邻域N(z)使得

3) ∀t∈N(z),F(t)⊂Fz(t);

4) ∀N={y0,y1,…,yn}∈〈Y〉,∀{yi0,yi1,…,yik}∈〈N〉,

设F在K上的限制为FK:K→2Y定义为FK(z)=F(z),∀z∈K.对∀z∈K,设Fz在K上的限制为FzK:K→2Y定义为FzK(x)=Fz(x),∀x∈K.由于K紧,据2)得

6) ∀t∈N(z),FK(t)⊂FzK(t).

据K紧知

据4)得

7) ∀z∈K,∀N={y0,y1,…,yn}∈〈Y〉,∀{yi0,yi1,…,yik}∈〈N〉,

因Z是Hausdorff拓扑空间,K是Z中的紧子空间,故K是紧Hausdorff拓扑空间,因而,K是正规拓扑空间.故对∀z∈K和z在K中的开邻域N(z),存在z在K中的开邻域U(z)使得

据K的紧性知

8) 存在{z0,z1,…,zm}∈〈K〉使得

对∀p∈{0,1,…,m},定义Fp:K→2Y为：

则有

必有

若不然,假设存在

使得

任取

据8),存在p0∈{0,1,…,m}使得

注意到

故存在z*在K中的开邻域O(z*)使得

对

有

故

因此

于是

所以

与7)矛盾.

故

注2.3定理2.3统一改进和推广了文献[16]的定理2、文献[17]的定理2、文献[18]的定理2.2,等.

参考文献

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2010 MSC：47H04; 47H10; 52A99

(编辑李德华)

A GFS-KKM Theorem in GFC-Spaces with the Application to Maximal Elements

WEN Kaiting,LI Herui

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,GuizhouUniversityofEngineeringScience,Bijie551700,Guizhou)

Abstract：In this paper, GFS-KKM mappings, G(KS)-mappings and G(KS)-majorized mappings are introduced, a GFS-KKM theorem is established in GFC-spaces. As applications, maximal element theorems for G(KS)-mappings and G(KS)-majorized mappings are obtained. Our results unify, improve and generalize some known results in recent references.

Key words：GFC-space; GFS-KKM mapping; G(KS)-mapping; G(KS)-majorized mapping; maximal element

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.016

中图分类号：O177.91

文献标志码：A

文章编号：1001-8395(2016)01-0093-05

作者简介：文开庭(1962—),男,教授,主要从事非线性分析的研究,E-mail:wenkaiting_2004@sina.com

基金项目：国家自然科学基金(11361003)、贵州省自然科学基金([2011]2093)和贵州省教育厅自然科学重点基金([2012]058)

收稿日期:2014-05-05