一类p-Laplacian方程非平凡解的存在性

王善荣，罗景文，商彦英，唐春雷

(1.西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2.成都理工大学 管理科学学院，四川 成都 610059)



一类p-Laplacian方程非平凡解的存在性

王善荣1，罗景文2，商彦英1，唐春雷1

(1.西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2.成都理工大学 管理科学学院，四川 成都 610059)

摘要：研究了一类p-Laplacian方程非平凡解的存在性，所用的工具是Nehari流形。得到了4个引理：Nehari流形非空；在Nehari流形上，方程对应泛函的下确界大于0；泛函在Nehari流形上的下确界能达到；泛函在下确界达到的地方的导算子为0。研究结果表明：该类p-Laplacian方程至少存在一个非平凡解。

关键词：p-Laplacian方程；Nehari流形；非平凡解

0引言

基于“方程对应泛函的临界点为该方程的解”，在寻找方程解时，只需找到方程对应泛函的临界点即可。在p-Laplacian方程中，当非线性项的次数超过了p次，这时方程对应的泛函无下界。这给寻找泛函的临界点增加了很大的难度。为了克服这一困难，本文引入Nehari流形。在Nehari流形上，方程对应的泛函是有下界的。

本文所用到的方程如下：

-△pu+V(x)up-2u=ur-2u+uq-2u, x∈Ω;u=0,x∈∂Ω,{

(1)

方程(1)所对应的泛函为：

泛函I(u)在空间X上可微，且有：

Nehari流形定义如下：

1主要结论

定理1方程(1)在有界开区域Ω上存在非平凡解。

引理1Nehari流形M非空，即：对任意非零函数u∈X，存在实数t>0，使得tu∈M。

，所以。　(2)

(3)

引理3存在不恒为0的非负函数u∈M，使得I(u)=m。

证明引理3分4步来证明：

(Ⅰ)u为非负函数

(i)在空间X上，uk弱收敛于u。

(ii)在Lr(Ω)和Lq(Ω)上，分别都有uk→u。

(iii)uk(x)→u(x),a.e.于Ω。

由于(iii)，所以u≥0。

(Ⅱ)u不恒等于0

(Ⅲ)u∈M

因为在空间X上，uk弱收敛于u，所以：

0

u)=1p-1ræèçöø÷∫Ωt*urdx+1p-1qæèçöø÷∫Ωt*uqdx=

(Ⅳ)I(u)=m

引理4若u∈M，使得I(u)=m，则I′(u)=0。

证明∀v∈X,∃δ>0,∀s∈(-δ,δ),使得u+sv≠0，∃t(s)>0,使得t(s)(u+sv)∈M，显然t(0)=1。定义映射：s→t(s)(u+sv)，τ:(-δ,δ)→R。

τ(s)=I(t(s)(u+sv))，显然当s=0时，τ(s)取到极小值。所以有：

0=τ′(0)=I′(t(0)u)(t′(0)u+t(0)v)=t′(0)I′(u)u+I′(u)v。

在流形M上，I′(u)u=0，所以0=τ′(0)=I′(u)v。

即：∀v∈X,都有I′(u)v=0。由于v的任意性，所以I′(u)=0。

定理1的证明由引理1～引理4得到方程(1)所对应的泛函I(u)在Nehari流形M上有非平凡的临界点，再结合引理4的证明∀v∈X,都有I′(u)v=0，即：此临界点为泛函I(u)在空间X上的临界点，所以这个临界点为方程(1)的非平凡解。

2 结束语

本文应用Nehari流形研究了方程(1)在1

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中图分类号：O177.91

文献标志码：A

收稿日期：2015-11-24

作者简介：王善荣(1990-),男,四川渠县人,硕士生;商彦英(1978-),男,山东莘县人,副教授,博士,硕士生导师,主要从事非线性泛函分析和非线性微分方程等方面的研究.

基金项目：国家自然科学基金项目(11501469)

文章编号：1672-6871(2016)03-0087-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.019