慢增长的Laplace-Stieltjes变换的级

杨晓英

(新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054)



慢增长的Laplace-Stieltjes变换的级

杨晓英

(新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830054)

摘 要：文章借助一类慢增长函数Λ,在此定义下,得到了半平面上慢增长的Laplace-Stieltjes变换的最大模和最大项指标之间的关系,推广了Dirichlet级数的有关结果。

关键词：Laplace-Stieltjes变换; 级; 慢增长

关于Dirichlet级数增长性的研究已经有很多结果【1-6】。许多作者研究了增长快速的整函数(ρ=∞), 2006年Ganti和Srivastava【7】定义了慢增长的Taylar整函数的广义级和广义型(ρ∈(0,+∞))。近几年，霍颖莹【8】研究了慢增长的Dirichlet级数的广义级和广义型(ρ∈(0,+∞))。文章研究半平面上慢增长的Laplace-Stieltjes变换的广义级,得到了一个相应的结论,可以看做对Dirichlet级数研究的扩展。

设α(y)是任何有限闭区间[0,X]上有界变差的实或复函数。考虑Laplace-Stieltjes变换：

(1)

取序列{λn}：0<λ1<λ2<…<λn<…<+∞,满足

(2)

记σu(F)为一致收敛横坐标,设变换满足

(3)

N(σ,F)=max{λn,An*e-λnσ=μ(σ,F):n∈N,σ∈R}.

设Λ表示一组函数α(x),满足下面的条件：

1.α(x)是定义在[δ,+∞)上正的可微的严格递增函数,且α(x)→+∞(x→+∞);

2.α(x)～klog[P]x(x→+∞),其δ,k∈(0,+∞),log[1]x=logx,log[P]x=log[P-1]logx,这里的P为正整数。易得

(4)

可见,函数α(x)是慢增长的函数。

定义设α(x)∈Λ，由(1)定义的整函数F(s)的广义级可定义为

1几个引理

引理1设Laplace-Stieltjes变换(1)和{λn}满足(2)和(3),对于任意给定的σ∈R,

证明用[10]中引理1的类似证明可得。

引理2[11]设α(x)∈Λ，其反函数为α-1(σ)，则

其中A>0,B>0.

证明 用[8]中引理3的类似证明可得。

2定理及证明

定理设Laplace-Stieltjes变换(1)和{λn}满足(2)和(3),则

对上式两边做慢增长函数，

α[logμ(σ,F)-logμ(σ1,F)]≤α[(σ-σ1)α-1[(B+ε)α(1/σ)]],

由引理2得

α[(σ-σ1)α-1[(B+ε)α(1/σ)]]≤(B+1+ε)α(1/σ).

再由引理3, 定理的第1个不等号成立。

α(N(σ,F))≤(1+ο(1))α(2N(σ,F))<(1+ο(1))α(∫σσ+2N(x,F)dx)

≤(1+ο(1))α(logMμ(σ+2,F))≤(A+ε+ο(1))α(1/σ).

参考文献：

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[2] SUN Dao-cun ,YU Jia-rong .On the distribution of values of random dirichlet series [J]. Chinese Annals of Mathematics,1990,11B(1):33-44.

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[7] Ganti,Srivastava.Approximation of entire function of slow growth[J].General Mathmatics,2006,14(2):59-76.

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[9] 余家荣,丁小庆,田范基,等.Dirichlet级数和随机Dirichlet级数的值分布[M].武汉：武汉大学出版社,2004.

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[11] 孔荫莹,霍颖莹.慢增长的随机Dirichlet级数[J].数学年刊,2012,33A(3):323-328.

On Orders and Types of Laplace-Stieltjes Transform of Slow Growth

YANG Xiao-ying

(SchoolofMathmaticsXinjiangNomalUniversity,Urumqi,Xinjiang, 830054,China)

Abstract:The paper uses a kind of slow growth function Λ and obtains some relations between the maximum modulus and the index of maximum term by the slow growth function of Laplace-Stieltjes transforms in the half-plane. And extends some results of Dirichlet series in the half plane .

Key words:Laplace-Stieltjes transforms; Generalized order; Slow growth function

中图分类号:O174.52

文献标识码：A

文章编号：1008-9659(2016)01-046-03

[作者简介]杨晓英(1976-)，女，新疆奇台人，讲师，硕士，主要从事高等数学数学教育及课程论方面的研究。

[收稿日期]2015-12-15