混沌临界值对混沌系统检测性能的影响分析

石 敏

(1. 水声对抗技术重点实验室， 广东 湛江 524022；2. 中国人民解放军91388部队, 广东 湛江 524022)

混沌临界值对混沌系统检测性能的影响分析

石 敏1,2

(1. 水声对抗技术重点实验室， 广东 湛江 524022；2. 中国人民解放军91388部队, 广东 湛江 524022)

利用混沌系统进行微弱信号检测时，确定系统由混沌态转化为大尺度周期态的混沌临界阈值至关重要。仿真表明：选取不同精度的混沌临界阈值将对混沌系统检测性能产生影响，选取的临界阈值精度越高，能够检测到信号的信噪比越低，但同时其对噪声检测的虚警率也越高。因此，实际检测中需根据检测要求来选取合适精度的临界阈值，以使检测性能达到检测要求。

微弱信号检测；混沌系统检测性能；混沌临界值

0 引 言

利用混沌系统进行微弱信号检测的基本原理是混沌系统具有对噪声及与其内置信号频差较大信号免疫，而对与混沌系统内置信号频差较小信号敏感的特点[1–5]。

当混沌系统处于由混沌状态转化为大尺度周期状态的临界状态时，若输入噪声则系统仍保持混沌状态，而输入与之同频率的微弱信号，则系统迅速进入大尺度周期状态，据此可以检测待测信号中是否含有微弱信号[6–10]。

在混沌微弱信号检测中，如何确定混沌临界值至关重要[11]。仿真中发现：选取不同精度的临界值将影响混沌系统的检测性能，本文主要研究不同精度的临界值将如何影响系统的检测性能。

1 混沌系统微弱信号检测的基本原理

考虑可用于任意频率微弱信号检测的 duffing 混沌检测系统，其 duffing 方程为：

式中，ω 和γ分别为混沌系统内置信号频率和幅度；k为阻尼系数，一般取 k=0.5；（x–x3）为非线性项和分别为 x 的一阶和二阶微分。

随着γ值的变化，系统的相轨迹将发生变化，历经同宿轨道、倍周期分叉轨道、混沌状态及大尺度周期状态等，当γ等于混沌临界阈值 γd时，系统进入混沌临界状态。此时若输入纯噪声，系统仍保持混沌状态，若输入含有与内置信号频率相同的信号时，系统迅速从混沌状态转化为大尺度周期状态，据此可检测微弱信号是否存在。

2 混沌系统临界阈值的确定

Lyapunov 指数可用于定量确定系统的状态和混沌临界值：系统的最大 Lyapunov 特性指数大于 0，说明系统处于混沌状态；当系统的最大 Lyapunov 特性指数小于 0 时，说明系统处于大尺度周期状态；当 Lyapunov 特性指数由大于 0 转为小于 0，则说明系统从混沌态跃变到了周期态，最大 Lyapunov 特性指数符号转变的那一刻所对应的系统内置信号幅值即为系统临界阈值。文献[12]中给出了 Lyapunov 指数的具体计算方法及利用该指数计算系统临界阈值的方法。

表1 11 个采样点对应的 Lyapunov 指数值Tab. 1 Lyapunov characteristic exponents corresponding to 11 sample points

图1 系统对应的时域图和相轨迹图Fig. 1 Time-domain diagramand phase contrail diagramof chaotic system

由表1 可知，小数点后取 3 位的混沌临界阈值为γd=0.825，由图1 中 γ=0.825 和 γ=0.826 对应的时域图和相轨迹图也可以判定 0.825 是混沌临界阈值。

若要取更高精度的临界阈值，则可将 [0.825， 0.826] 以 0.000 1 为步长进行等分，同样计算各采样点对应的 Lyapunov 指数，根据 Lyapunov 指数值得到更高精度的临界阈值，得到其精度取小数点后 4 位对应的临界阈值为 0.825 8。该过程一直持续下去，直到得到预先设置的精度。这里以小数点后 8 位为设置精度，得到各采样点对应的 Lyapunov 指数如表2 所示。

由表2 可知，小数点后取 8 位对应的混沌临界阈值为 γd=0.825 843 00。

表2 12 个采样点对应的 Lyapunov 指数值Tab. 2 Lyapunov characteristic exponents corresponding to 12 sample points

3 不同精度的临界值对检测性能的影响

由第 2 节可知式（1）中的 duffing 混沌系统的临界阈值按不同精度可取为 0.82，0.825，0.825 8 和 0.825 843 00。

（6）收益转让：支付期内，无论发明人、创建人或作者、参与者是否在慕尼黑工业大学任职，相关费用都由慕尼黑工业大学支付。相关人员如果离开慕尼黑工业大学，不能带走其收益部分，而是要转给所在部门。如果调入慕尼黑工业大学另一所属机构，其收益可随之转入。

3.1 只输入高斯白噪声时对混沌系统检测性能的影响

将 duffing 系统处于混沌临界状态，即将式（1）中的γ分别取为 0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00时，在系统中加入高斯白噪声，式（1）变为如下形式：

式中：γd为混沌临界阈值；n（t）为高斯白噪声。

理论上，高斯白噪声输入到处于混沌临界状态的混沌系统中，系统仍保持混沌状态不变，即系统对应的最大 Lyapunov 指数应保持为正数。但仿真实验中发现在不同精度的临界阈值下输入一定功率的白噪声也会引起系统的状态变化，即系统对应的最大 Lyapunov指数可能会变为负数。

以输入噪声功率为 10–6为例，分别取 γd=0.82， 0.825，0.825 8，0.825 843 00，每个临界阈值下进行100 次仿真实验，得到噪声功率为 10–6时，各仿真中系统对应的最大 Lyapunov 指数如图2 所示。

图2 在不同精度临界阈值下，系统输入功率为 10–6的高斯白噪声后，系统对应的最大 Lyapunov 指数Fig. 2 Maximal Lyapunov exponent of chaotic systemafter inputting gauss noise with power 10–6into the systemunder different precision critical value

定义输入噪声时，系统的虚警率为：

由图2 可知，γd=0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00时，对应的虚警率分别为 0%，0%，7%，62%。随着混沌临界阈值的不断精确，系统对噪声越来越敏感，其虚警率增加，原因如下：

1）噪声的频带很宽，其包含外力驱动力频率的窄带可能导致系统由混沌临界状态跳变到大尺度周期状态；

3.2 输入含噪信号时对检测性能的影响

在式（1）的 duffing 系统处于临界状态时，加入含噪信号，其变为：

式中：γd和 n（t）与式（2）的意义相同；a 为待测信号幅度。

理论上，含噪信号输入到处于混沌临界状态的混沌系统中，系统应从混沌状态迅速转化为大尺度周期状态，即系统对应的最大 Lyapunov 指数变为负数。但仿真实验中发现在不同精度的临界阈值下输入一定信噪比的含噪信号也可能不会引起系统的状态变化，即系统对应的最大 Lyapunov 指数仍保持为正数。

以输入噪声为 10–6，输入信号的信噪比为–10 dB为例，分别取 γd=0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00，每个临界阈值下进行 100 次仿真实验，得到噪声功率为 10–6，信噪比为–10 dB 时，各仿真中系统对应的最大 Lyapunov 指数如图3 所示。

其中信噪比的定义为：

定义输入含噪信号时，系统的检测率为：

由图3 可得，γd=0.82，0.825，0.825 8，0.825 843 00时，对应的检测率分别为 0%，0%，100%，100%。可见，随着临界阈值的不断精确，系统对信号的灵敏度增加，这主要是因为随着临界阈值的不断精确，系统越来越接近周期状态，其有序度增加，微小的信号加入到系统中就可以引起系统状态的改变。

图3 在不同精度临界阈值下，系统输入信噪比为–10 dB，噪声功率为 10–6的含噪信号后，系统对应的最大 Lyapunov 指数Fig. 3 Maximal Lyapunov exponent of chaotic systemafter inputting signal with SNR–10 dB and noise with power 10–6into the systemunder different precision critical value

3.3 不同情况下的检测性能

取噪声功率分别为 10–6，10–4和 10–2，信噪比分别为–10 dB，–20 dB，–30 dB，–35 dB 和–40 dB，得到的总检测结果如表3 所示。

表3 混沌系统在不同情况下的检测性能Tab. 3 Detection performance of chaotic systemunder different cases

从表可见，不同精度的临界值将影响混沌系统的检测结果，当选取的临界值精度越高时，其能检测到信号的信噪比越低，但其虚警率也越高，因此实际检测时需根据检测的要求来选取合适精度的临界阈值。从表中还可看到噪声强度对混沌系统检测性能也会产生影响，这将在下一阶段中详细研究。

4 结 语

在混沌系统微弱信号检测中，一般利用 Lyapunov指数定性确定混沌系统中由混沌态转化为大尺度周期态的临界阈值，而选取具有不同精度的临界阈值将影响系统的检测性能，临界阈值的精度越高，能够检测到的信噪比越低，但同时虚警率也越高，因此实际检测中需根据对检测性能的要求选取合适精度的临界阈值进行信号检测。

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Influence analysis of critical value on detection performance of chaotic system

SHImin1,2(1. Science and Technology on Underwater Acoustic Antagonizing Laboratory, Zhanjiang 524022, China; 2. No. 91388 Unit of PLA, Zhanjiang 524022, China)

Determining the critical value of chaotic systemwhich brings the systemfromchaotic state to large-scale periodic state is very important in detecting weak signal by chaotic system. Simulation shows that choosing critical value of chaotic systemwith different precision will influence the detection performance of chaotic system. The higher precision of critical value of chaotic system, the signal with lower SNR (SNR, signal to noise ratio) can be detected by chaotic system, while the higher false alarmrate is derived. Therefore in actual signal detection, suitable precision of critical value of chaotic systemshould be chosen based on detection requirement in order to bring detection performance achieve the detection requirement.

weak signal detection；detection performance of chaotic system；critical value of chaotic system

TP391

A

1672–7619(2016)10–0137–05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.010.028

2016–03–02；

2016–05–10

石敏(1979–)，女，博士，工程师，主要从事水声信号处理方面的研究。