突破数学解题瓶颈的六个切入点

谢高峰

一、 智慧变角，凸显关系

例1 求证sin 3A·sin3A+cos 3A·cos3A=cos32A.

证明 sin 3A·sin3A+cos 3A·cos3A=sin 3A·sin A·+cos 3A·cos A·=sin 3A·sin A-sin 3A·sin A·cos 2A+cos 3A·cos A+cos 3A·cos A·cos 2A=（cos 3A·cos A+sin 3A·sin A）+·cos 2A·（cos 3A·cos A-sin 3A·sin A）=cos 2A+·cos 2A·cos 4A=cos 2A（1+cos 4A）=cos 2A·2cos22A=cos32A.

小结 一般表面上的数量关系可以反映内在结构的变换关系，抓住它，我们往往就能找到解题思路.如解三角函数问题时，若角不同，则可通过半角公式或倍角公式进行转化；若各项的次数不同，则可通过升幂或降幂来促成问题的解决.

二、分析特征，构造模型

例2 已知数列{an}中，a1=，an+1=an+（）n+1，求数列{an}的通项公式.

解 在an+1=an+（）n+1的两边同乘以2n+1，得2n+1·an+1=·2n·an+1.

令bn=2n·an，由bn+1=bn+1，得bn+1-3=（bn-3），可知{bn-3}是以-为首项、为公比的等比数列，所以bn-3=-·（）n-1，即bn=3-2·（）n.

所以an ==-.

小结 在解答递推数列问题时，常将递推式进行一系列变换（如累乘、累加、逐减、拆项等），构造出一个新的数列，化归为等差数列或等比数列来求解.很多数学命题的外形特征与内在结构之间是相通的，如果抓住这些命题的外形特征，然后细加分析，我们就不难发现解题的切入点，从而找到解题思路.

三、以静制动，巧妙转化

例3 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A的坐标为（-4，0），顶点C的坐标为（4，0），顶点B在椭圆+=1上，则=_____.

解 顶点B取椭圆短轴的上端点，即点B的坐标为（0，3），则sin A= sin C=cos =，sin =，sin B=2sin cos =2××=.

所以=.

小结 在解一些动点、动直线、动平面的问题时，我们可考虑借助特殊位置的点、直线、平面.对于那些结论不明或解题思路不易找到的问题，我们可先用特殊情况来探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明.像这种“特殊与一般的相互转化”策略，经常被应用于高考的选择题和填空题中.

四、构造函数，灵活类比

例4 已知x3+sin x-2a=0，4y3+sin ycos y+a=0，其中x，y∈[-，]，a∈R，求cos（x+2y）的值.

解 设函数f（t）= t3+sin t-2a，t∈[-，].对任意的t1 ，t2，有-≤ t1 < t2 ≤，则t31< t32，sin t1

由x3 + sin x-2a = 0，4y3+ sin ycos y +a = 0，即x3+sin x-2a =0，（-2y）3+sin（-2y）-2a =0，得f（x）= f（-2y）=0.由y∈[-，]，可得-2y∈[-，]，于是可知x=-2y，即x+2y=0.

所以cos（x+2y）=1.

小结 类比思维是重要的发散性思维方式，它可以跨越各类事物的界限.高中数学中常见的类比有平面与空间的类比（如圆与球，三角形与三棱锥等）、抽象函数和具体函数的类比等.

五、避繁就简，巧妙切入

例5 已知定义域为R的函数 f（x），对任意的x，y∈R，均有 f（x+y）= f（x）+ f（y）-3，且 f（）=0，当x->0时，f（x）<0.试举出一个具有这种性质的函数.

解 首先，寻找一个满足 f（）=0的简单的一次函数f（x）=x-.其次，为使它满足当x->0时，f（x）< 0，可将函数改进为f（x）=-（x-）.再将其代入f（x+y）= f（x）+ f（y）-3检验，得左边= f（x+y）=-（x+y）+，右边= f（x）+ f（y）-3=-（x+y），左边≠右边.进而将函数改设为f（x）=c[-（x-）]（c> 0）.将其代入f（x+y）= f（x）+ f（y）-3，可求得c=2，即f（x）=-2·（x-）.

小结 对有多个已知条件的问题，要选择一个自己最熟悉，能使思维流畅通达的“简单”条件为切入点，然后由简到繁，由易到难，寻找已知条件之间的内在联系，构建一个适合自己的解题阶梯.

六、转化思维，迂回包抄

例6 已知△ABC为正三角形，在边BC，AC上分别取点D，E，且BD=BC，CE=AC，AD与BE交于点P，求证：AP⊥CP.

证明 以B为原点，BC边所在的直线为x轴建立直角坐标系.过点D作DF∥BE，交AC于点F，则==2.由CE=AC，得==.

设△ABC的边长为1，可知=（1，0），=（，0），=（，），=（-，-），=（-，），则==（-，-），=+=（-，），于是有·=0.

所以AP⊥CP.

小结 向量是数形结合的重要途径之一，恰当运用，可将一些复杂的几何问题转化为简单的代数运算，化难为易，充分体现数形结合思想，为解决几何问题开辟一条新途径.同时，向量知识在求有关函数的最值、证明某类等式或不等式、解有关三角函数问题时也有不俗的表现.

（责任编校 冯琪）