半空间上MHD方程弱解的衰减下界

吕　锴

(东华大学 理学院， 上海 201620)



半空间上MHD方程弱解的衰减下界

吕锴

(东华大学 理学院， 上海 201620)

摘要：研究了磁流体力学(MHD)方程的弱解在半空间+上的衰减性质，通过建立一族产生弱衰减的初值， 得到了MHD方程的衰减下界.

关键词：磁流体力学(MHD)方程； 半空间； 衰减下界

磁流体力学(MHD)方程的一般形式为

(1)

对于方程(1)的Cauchy问题，文献[1]构造了一类类似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整体弱解.在全空间n上方程(1)的Cauchy问题的衰减性质的研究上，已有不少研究成果.文献[2-3]在文献 [4]的基础上研究了强解的衰减性质.而对于弱解的衰减性质的研究，可以参见文献[5-7].然而上述针对全空间n问题的结论，大多使用Fourier变换法，并不适用于半空间+∶={x=(x1，x2， …，xn)∈n；xn>0}问题.对于半空间上的MHD方程，文献[8]研究了弱解的L2衰减.文献[9]证明了当半空间上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在满足一定条件的情况下，可以得到N-S弱解的衰减下界的估计.本文在文献[9]研究成果的基础上，得到了半空间+上的MHD方程的相关结论.

(2)

1主要结论

在介绍本文的主要结论之前，首先给出一些符号的定义.

简便起见，将Ar简写为A.

下面给出方程(2)弱解的定义[10].

定义1.1若(u，B)满足以下条件：

-(u(t)， φ(t))+(u(s)， φ(s))

-(B(t)， φ(t))+(B(s)， φ(s))，

(3)

(iii) 能量不等式

(4)

则称(u，B)为方程(2)在上的弱解.

其中：m≥0， α， γ， δ>0.

假设考虑满足以下条件的初值：

(A2)a′(x′，xn)=(a1(x′)η1(xn)， (a2(x′)η1(xn)， …，an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′，xn)=(b1(x′)η2(xn)， (b2(x′)η2(xn)， …，bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn)，其中ηi∈L2(且满足对几乎所有的，都有，这里的表示ηi相对于xn的奇延拓，即

定理1.1若n≥3，a，b∈Lr((满足假设(A1)～(A3)，且r和m满足(i)或(ii)：

则存在T>1及常数C>0，使得当t≥T时，方程(2)的任意弱解(u，B)都有

(5)

定理1.1为本文主要结论.

2Stoke方程及热方程解的衰减

(6)

其中：q需满足1

(7)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.1[9]若n≥3，a满足假设(A1)～(A3)，则当t≥1时，有

(8)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.2若n≥3，b满足假设(A1)～(A3)，则当t≥1时，有

(9)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

证明：因为bn≡0，所以有hn(t)≡0和h′(t)=eΔtb′.因此，由Plancherel定理和Fubini定理，有

(10)

对于I1，由引理2.1可知，存在C=C(n-1， m， α， γ， δ)>0，使得当t≥1时，有

(11)

(12)

3MHD方程解的衰减

本节研究MHD方程解的衰减性质并给出定理1.1的证明.为了估计非线性项，首先给出以下引理.

(13)

引理3.2设1≤r<2 ，a，b∈Lr(对于方程(2)的任意弱解(u， B)，当t→∞时，有

(14)

证明：设λ=λ(t)为(0， ∞)上的光滑函数，则

(15)

同理可得

(16)

(17)

(18)

由引理3.1，有

‖Eλ(t)u(t)‖2≤‖e-t Aa‖2+

(19)

‖Eλ(t)u(t)‖2≤

(20)

y(t)-g(t， s)+z(s)≤y(s)

(21)

z′(τ)=-λ(τ)y(τ)≤

-λ(τ)[y(t)-g(t， τ )+z(τ)]

(22)

设Z(τ)≥0为方程Z′(τ)=λ(τ)Z(τ)的解，将式(22)乘上Z(τ)，并对τ作(s， t)上的积分

(23)

对式(23)作分部积分，因为z(t)=0， g(t， t)=0，所以

(24)

取λ(τ)=m τ-1， m>0，则Z(τ)=τm.令s→0，得

(25)

(26)

(27)

下面将分情况进行讨论.

因此，有

引理3.3若1≤r<2， a， b∈Lr(假设v(t)=e-t Aa和h(t)=eΔ tb,则对于方程(2)的任意弱解(u，B)，当t→∞时，有

‖u(t)-v(t)‖2+‖B(t)-h(t)‖2=

(28)

证明：设P(t)∶=u(t)-v(t)，Q(t)∶=B(t)-h(t)， (u，B)满足能量不等式(4)，v和h满足能量不等式

因此有

(29)

在式(3)中取试验函数φ(τ)=v(τ)和ψ(τ)=h(τ).此外，因为dv/dt=-Av，dh/dt=Δh，所以可得

(u(t)， v(t))=

(30)

(B(t)， h(t))=

(31)

将式(30)和(31)代入式(29)，有

(32)

(33)

‖‖ ‖b‖‖u(τ)‖

(34)

(35)

同理，由命题2.1，有

(36)

(37)

设λ=λ(t)为(0， ∞)上的光滑函数，类似引理3.2中式(15)的证明，有

(38)

同理可知

(39)

e-(t -τ)AEλ(t)φ)|dτ≤

(40)

同理有

(41)

类似引理3.2中的证明，可得

(42)

取λ(t)=m t-1，其中m>0足够大，有

(43)

此时注意到，若1≤r<2， (u， B)满足

下面将分情况进行讨论.

综上所述，引理3.3得证.

定理1.1的证明.

所以，存在T≥1，使得

再由三角不等式以及定理2.1和2.2，有

‖u(t)‖2+‖B(t)‖2≥

‖v(t)‖2-‖u(t)-v(t)‖2+

‖h(t)‖2-‖B(t)-h(t)‖2≥

综上所述，定理1.1得证.

参考文献

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Lower Bound of the Energy Decay of the Weak Solution of the MHD Equations in the Half-Space

LÜKai

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：An asymptotic behavior of weak solution of the magneto-hydrodynamic(MHD) equations in the half-space + is studied. By constructing a class of initial data which cause slow decay， lower bound of the energy decay of the MHD equations is obtained.

Key words：magneto-hydrodynamic(MHD) equations； half-space； lower bound of the energy decay

中图分类号：O 175.14

文献标志码：A

作者简介：吕锴(1988—)，男，江西南昌人，硕士研究生，研究方向为磁流体力学方程.E-mail：faustxxiv@gmail.com

收稿日期：2014-10-23

文章编号：1671-0444(2016)01-0160-07