二维空间中具间接信号产出趋化模型解的整体存在性

刘冬梅

(东华大学 信息科学与技术学院， 上海 201620)



二维空间中具间接信号产出趋化模型解的整体存在性

刘冬梅

(东华大学 信息科学与技术学院， 上海 201620)

摘要：考虑一个山松甲壳虫的扩散和聚集趋化模型，该模型由两个反应-扩散方程和一个常微分方程构成.证明了对任意的充分光滑的初始值该模型整体解的存在性，从而排除了解在有限时间爆破的可能性，讨论了该模型在初始细胞质量适当小的假设下整体解的有界性.

关键词：趋化性； 间接信号产出； 整体存在性； 有界性

趋化性是指由信号浓度的空间变化而引起的细胞的偏向运动.著名的趋化数学模型(以下简称KS模型)是由Keller-Segel提出[1].设细胞的密度为u=u(x，t)，而相应的信号浓度为w=w(x，t)，则上述提及KS模型如下：

在KS模型的基础上，本文研究的是在文献[8]中提出的关于山松甲壳虫聚集模式的模型.近年来，由于气候变暖，主要生活在加拿大的山松甲壳虫快速繁殖，并给森林造成了巨大的危害.它们把卵产在松树上，直到第二年夏天时，幼虫变为成虫离开树洞，然后继续攻击下一批松树，再准备产卵.需要强调的是：做窝的甲壳虫通过释放一种化学物质来吸引飞行的甲壳虫[8].而本文关心的是这种甲壳虫的扩散和聚集行为.

设飞行的甲壳虫的密度为u=u(x，t)，做窝的甲壳虫的密度为v=v(x，t)，相应的信号浓度为w=w(x，t)，则关于甲壳虫的模型[8]如下：

(1)

其中：Ω⊂Rn是一个光滑有界区域；参数δ>0.模型(1)中，第一个方程描述飞行的甲壳虫密度随时间的变化情况，等式右边第一项表示飞行的甲壳虫的随机扩散，第二项表示飞行的甲壳虫趋向于化学物质浓度增加的方向移动；第二个方程描述做窝的甲壳虫密度随时间变化情况，δ表示相应的死亡率；第三个方程表明化学信号由做窝的甲壳虫产出，并随时间衰减.

模型(1)给出了一个间接信号产出过程，即这种化学物质并不是由飞行的甲壳虫直接产出，而是由飞行甲壳虫转变而来的做窝的甲壳虫产出的.从数学的角度来说，模型(1)和KS模型的一个本质区别在于：由直接信号产出的KS模型，在二维空间中，当初始细胞的质量大于某个特定值时，模型的解会在有限时间爆破；而间接信号产出的模型(1)是不可能在有限时间爆破的.更精确地说：

而当t→+∞时，解是否会爆破这一问题，目前尚不清楚，有待进一步深入研究.

如前面所述，KS模型存在临界质量现象.另外一个有趣的问题是模型(1)是否也存在类似的临界质量现象？本文将探讨这一问题.

为了陈述结论，首先回顾Gagliardo-Nirenberg不等式：设Ω⊂R2是一个光滑有界区域，则对任意的u(x)∈W1， 2(Ω)，存在CG N=CG N(Ω)>0，使得

成立.

下面陈述有关模型(1)的一个小初值整体解有界的结果.

定理2假设n=2且设

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C

成立.

1解的整体存在性：定理1的证明

利用合适的不动点方法可以证明关于模型(1)的解的局部存在唯一性结论.

进一步，如果Tmax<∞，则当t→Tmax时，有

‖u(·，t)‖L∞(Ω)→∞.

证明：该证明过程类似于文献[9]，故在此不重复其细节.

由引理1.1知，要证明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上存在，需要建立u(·，t)在L∞(Ω)空间中的估计，即要证明：对任何T∈(0，Tmax)，存在某个常数C(T)，使得

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)，∀t∈(0， T)

(2)

成立.

以下的质量估计是建立估计式(2)的起点.

引理1.2模型(1)的古典解(u，v，w)具有如下性质：

‖u(·， t)‖L1(Ω)=‖u0‖L1(Ω)，t∈(0， Tmax)，

(3)

‖v(·， t)‖L1(Ω)≤

(4)

‖v0‖L1(Ω)+‖w0‖L1(Ω)，t∈(0， Tmax).

(5)

证明：模型(1)中第一个方程在Ω上求积分，并利用分部积分和模型(1)中零流边界条件得

由此推得

(6)

即式(3)成立.

模型(1)的第二个方程的两边在Ω上求积分得

据此并利用式(6)得

(7)

即式(4)成立.

类似地，有

解之并根据式(7)得

从而式(5)得证.

证明：模型(1)中第一个方程两边同时乘以lnu后再在Ω上积分，并利用分部积分、零流边界条件及Young不等式得

(8)

其中：ε>0为任意常数.

接下来，模型(1)中第二个方程两边同时乘以2v后在Ω上积分，并利用Young不等式得

(9)

再由模型(1)中第三个方程两边同时乘以(-Δw)后在Ω上积分得

由此并利用Young不等式得

从而

(10)

综合式(8)～(10)得

(11)

利用Gagliardo-Nirenberg不等式进一步估计式(11)中右边第二个积分

(12)

舍弃不等式左边后3个非负项得

(13)

则式(13)变为

y′(t)≤c1y(t)+c2，

即

从而引理1.3得证.

为了建立u的Lp估计，需先引入下列关于热方程的正则性引理[9].

引理1.4假设n=2并设z0∈W1， ∞(Ω)， f∈L2(Ω)，z满足方程

则对任意的1

‖z‖W1， q(Ω)≤C(q)‖f‖L2(Ω)，t>0.

(14)

证明：根据模型(1)中第三个方程知，式(14)是引理1.3和1.4的直接推论.

(15)

成立.

证明：根据模型(1)中的第一个方程直接计算，并利用Cauchy不等式得

(16)

进一步，由式(14)得：存在某个常数c1(p，T)，使得

(17)

再利用Gagliardo-Nirenberg不等式及式(3)估计式(17)中右边的积分

因此

从而由Young不等式得

(18)

综合式(16)～(18)得

因此

引理1.6得证.

定理1的证明：根据模型(1)中的第一个方程，利用估计式(14)和(15)及标准的Moser迭代[10]可以得到

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C(T)，t∈(0， T).

(19)

据此并利用引理1.1及其中的延拓准则知：

Tmax=+∞，

从而定理1得证.

2解的有界性：定理2的证明

由解的整体存在性的证明过程可以看出，要证明模型(1)的解在Ω×(0， ∞)上有界，关键要建立u的Lp(Ω)(关于t的)一致先验估计.下面的基本引理在后面将会用到.

引理2.1存在常数C>0，使得

(20)

成立.

证明：利用洛必达法则得

因此，存在某个常数A>1，使得s>A时成立

从而由Young不等式得

(21)

又因为

所以，存在c1>0， 满足

(22)

综合式(21)和(22)得

下面建立v的L2一致先验估计.

引理2.2令n=2. 假设

(23)

(24)

则存在某个常数C>0，使得模型(1)的解满足

(25)

证明：由式(8)得

(26)

再由式(9)得

(27)

最后由式(10)得

(28)

综合式(26)～(28)得

由假设式(23)知：2δ-3≥0，因此

t>0，

满足

t>0.

再根据引理2.1知

(29)

由式(12)得

(30)

将式(30)代入式(29)得

t>0，

z′(t)+z(t)≤c2.

解之得

z(t)≤z(0)e-t+c2(1-e-t)≤

z(0)+c2∶=c3，t>0.

因此

引理2.2证毕.

根据引理2.2和1.4可以直接得到下面的推论.

(31)

成立.

接下来，建立u的Lp(Ω)一致先验估计.

(32)

成立.

证明：由式(16)得

(33)

进一步，利用Young不等式及式(31)得：存在某个常数c1(p)满足

(34)

由式(18)得

(35)

综合式(33)～(35)得

(36)

根据Young不等式得：存在常数c5(p)>0，使得

成立，由此并利用式(35)得

(37)

其中：η>0为任意常数.将式(37)代入式(36)的右边得

解之得

因此引理2.4得证.

定理2的证明：根据模型(1)中的第一个方程，利用估计式(31)和(32)及标准的Moser迭代[10]可以得到：存在常数C>0，满足

‖u(·， t)‖L∞(Ω)≤C，t>0.

由此定理2得证.

参考文献

[1] KELLER E F， SEGEL L A. Initation of slime mold aggregation viewed as an instability[J]. J Theor Biol， 1970， 26(3)： 399-415.

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Global Existence in the Two-Dimensional Chemotaxis Model with Indirect Signal Production

LIUDong-mei

(College of Information Science and Technology， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Abstract：A chemotaxis model describing the diffusion and aggregation of the Mountain Pine Beetle is considered. The model consists of two reaction-diffusion equations and an ordinary differential equation. It is shown that the model admits global solution for arbitrarily sufficiently smooth initial data， which excludes the possibility of finite-time blow-up. The boundedness of solutions is asserted whenever the initial cell mass is appropriately small.

Key words：chemotaxis； indirect signal production； global existence； boundedness

中图分类号：O 175.26

文献标志码：A

作者简介：刘冬梅(1987—)，女，安徽宿州人，博士研究生，研究方向为偏微分方程及应用.E-mail： liudongmei121@sina.cn

收稿日期：2014-12-01

文章编号：1671-0444(2016)01-0137-08