基于概率模型的弹道导弹防御系统拦截方案优化与评估

高昂,胡延苏(.西北工业大学电子信息学院,陕西西安7007; .长安大学电子与控制工程学院,陕西西安70064)



基于概率模型的弹道导弹防御系统拦截方案优化与评估

高昂1,胡延苏2
(1.西北工业大学电子信息学院,陕西西安710072; 2.长安大学电子与控制工程学院,陕西西安710064)

摘要:针对弹道导弹防御系统,研究概率意义下如何根据高层战略防御指标设计和部署拦截方案。在Bernoulli实验模型基础上,将拦截弹数量和防御指标进行关联,并进一步分析系统广义跟踪能力以及拦截弹单发毁伤概率对所需拦截弹数量的影响。在此基础上采用齐射拦截方式和连续发射方式,讨论防御指标、目标数量、目标威胁比率等因素对拦截弹消耗情况的影响。针对分层防御将各层拦截方案的设计建模为最优化问题,在保证防御指标的情况下,通过优化各层目标发射拦截弹的数量,使得平均每目标消耗的拦截弹数量最少,从而达到整体作战效能最优。

关键词:系统评估与可行性分析;弹道导弹防御系统; Bernoulli模型;拦截

0　引言

弹道导弹具有重大的战略、战术威慑作用,已经成为影响各国外交政治格局、左右战场态势、甚至决定战争胜负的重要因素。弹道导弹技术是国家国防实力的标志和国际地位的重要象征。目前,世界上至少有8个发达国家和15个发展中国家能够制造弹道导弹。随着军事技术的发展,导弹的投放系统越发的灵活,射程和精度也在不断地提高,隐身、变轨、干扰、多弹头技术的应用,使得导弹的突防能力不断增加;部分国家仍然在持续发展弹道导弹的大规模杀性武器运载能力。并且,随着世界多极化、科技全球化深入发展,国家地区之间军事合作日趋广泛而频繁,弹道导弹技术的扩散给防御系统带来极大的困难和挑战[1-2]。

目前,针对弹道导弹拦截方案优化研究大多是采用最优化方法对拦截弹进行轨道优化[3]或者采用效能评估理论对不同作战条件下拦截效果进行分析,进而选择最优拦截方案[4-6]。然而,针对弹道导弹防御逐渐显现的层次化特点[7],如何在保证高层防御指标的情况下,优化各层拦截方案特别是拦截弹分配问题,目前国内外尚无统一理论;另一方面,对于“如何根据高层战略防御指标的要求,设计反导系统的战技指标并进而形成有效部署”这一问题尚无定论[1,8]。换言之,目前要解决的是“怎样规划和部署拦截方案,以实现特定的防御任务”。本文针对这两个问题,在Bernoulli实验模型基础上,通过优化各层每目标发射拦截弹的数量,对高层防御指标进行分解,使得平均每目标消耗的拦截弹数量最少,从而达到整体作战效能最优。通常,衡量反导系统的能力可以有多种描述,例如:针对某一规模的来袭目标数量,做到完全拦截;或者以某一指标概率杀伤目标;或是拦截系统能够以指定概率保护敏感区域不被击中。以国家导弹防御(NMD)系统为例,在设计之初的设计指标为:95%的置信概率下能够拦截95%的来袭目标,即95%概率不超过1/20的目标逃逸。本文同样采用这种方法描述拦截指标。

理论上,助推段拦截的效果要好于中段和再入段拦截,但事实上,助推段拦截对探测跟踪以及拦截站的部署都提出了更高的要求。一方面,助推段时间一般较短,平均180～600 s,要求助推段防御系统具备快速反应时间、高可信度决策能力,并且助推段拦截针对的目标是导弹弹体而不是弹头,继续飞行的弹头可能落在发射点和预定目标之间,仍然存在一定的威胁;另一方面,助推段拦截要求拦截站应该部署在发射点400～1000 km以内,对于纵深较大的国家,不具备在其周围部署海基或陆基拦截站的条件,另一种可行的方法是通过部署空基和天基拦截器进行拦截,但目前天基和空基激光器尚处于实验室研究阶段。本文的讨论重点为飞行段和再入段导弹弹体释放弹头以后的拦截过程。

1　Bernoulli实验模型

通常弹道导弹会携带多枚真实的弹头和诱饵弹以提高突防能力和被拦截的难度。

假设1 飞行段或再入段导弹弹体释放弹头和诱饵的时候,弹体所携带的所有威胁目标一次性释放完毕,不存在多次释放的情况。

对于诱饵的识别方法主要是与真实弹头的雷达特征、红外特征、运动特征等进行比对,但由于军事和技术保密等条件的限制,无论是弹头还是诱饵的信号特征都很难在交战前预知,只有在弹头释放以后进行实时比对和判断,特别是由于再入段时间太短(60～90 s),识别难度很大。诱饵弹和真实弹头的识别率是反导系统重要的技术指标。用pww表示正确识别弹头的概率,pwd表示弹头被误判为诱饵的概率;pdd表示诱饵被正确识别的概率,pdw表示诱饵被误判为弹头的概率,显然有pww=1-pwd,pdd=1-pdw.假设在一次攻击中实际存在W个弹头和D个诱饵,则反导系统中识别出的弹头数量可以表示为

目标成功突防反导系统不外乎两种情况:1)弹头被正确的识别,但拦截系统没有成功拦截;2)弹头被误判为诱饵。所以,弹头突防成功概率可表示为

式中:K*w为弹头正确识别条件下成功拦截的条件概率。则有

式中:Kw为弹头正确识别和成功拦截的联合概率,即反导预警的目标毁伤概率。

整个弹道导弹拦截过程服从Bernoulli实验模型[1,8-11],p(χ)表示为W个弹头的拦截试验中,有χ个弹头未被成功拦截的概率,χ服从二项分布,则p(χ)可表示为

2　目标毁伤概率

假设对所有威胁目标的拦截概率独立同分布, K = Kw.当χ=0时,即所有的目标都被成功拦截,由(3)式得

(4)式表示的拦截指标可以表示为p0(W),即系统能够以p0(W)的概率保证W个来袭目标不会逃逸。如果拦截指标是以容许最大逃逸目标数量L的概率p(χ＜L)表示,则

假设2 目标毁伤概率是指目标被击中的概率,目标要么被摧毁,要么逃逸,不存在被部分摧毁的情况,即认为被击中的目标或碎片不再具有威胁[5]。

目标毁伤概率Kj表示在整个拦截系统内针对单一威胁目标的拦截能力, j为目标的类型,在本文讨论中,假设所有类型的拦击概率独立同分布。通常,拦截系统对目标的杀伤至少包含3个阶段。1)目标的探测和跟踪;2)作战管理与指挥控制系统对各类型目标探测传感器(如高低轨的红外卫星,X波段陆基雷达,合成孔径雷达系统)数据的融合和处理,以及指挥控制指令的传达;3)拦截弹的发射。本文将前两个阶段出现的各类错误和误差等导致拦截失败的因素统一在pj,t中包含,如目标跟踪和识别错误,由于数据融合过程中出现误差导致的拦截失败,指挥控制信息传递过程中的丢失和延迟导致拦截失败等,广义上导弹拦截全过程的跟踪概率可表示为

式中:pdt表示反导预警信息系统能够提供满足拦截弹制导要求的探测和跟踪精度的概率;pc表示目标被识别为弹头概率,对弹头来说识别概率即为pww,对诱饵来说识别概率即为pdw;pr表示整个反导系统系统的可靠性。目标毁伤概率Kj可表示为

式中:pjk|t为目标类型j的导弹威胁在被正确跟踪前提下被摧毁的条件概率,其又可以表示为

其中kji表示拦截弹对目标类型为j的目标第i次的单发毁伤概率(SSPK),且之前的i-1次均拦截失败,直到第n枚拦截弹才拦截成功。理想情况下对于类型为j的导弹威胁的单发命中概率为kj且拦截弹的直接拦截概率相互独立[7],则(7)式可以简化为

由(4)式和(8)式,要满足所有的导弹威胁都被拦截,则针对每个威胁目标所需发射拦截弹的数量n应为

不失一般性,在后文的讨论中,略去表示目标类型的下角标j.(9)式中所需每目标拦截弹的数量n必须向上取整。显然,为了保证(9)式有意义,pt≥p0(W)1/ W.如上所述,pt通常由反导系统各分系统固有的各项战术技术指标综合决定,因此在规划系统综合拦截指标时,必须考虑拦截系统的实际能力,在合理的范围内要求p0(W)和W.

3　齐射方式和连续发射方式

3.1拦截弹齐射方式

假设威胁目标中识别出的弹头数量为W*,若采用齐射方式进行拦截,为了满足高层指标p0(W),发射的拦截弹数量IB应该为

图1所示为齐射模型下,拦截弹数量随广义跟踪能力pt和拦截弹单发命中概率的变化情况。拦截指标为:60%的概率能够全部拦截包含10枚弹头的弹道导弹威胁,即p0(W) = 0.6.按照(10)式,当pt＜0.95时,无论发射多少枚拦截弹,都不能满足拦截指标。在Oχy平面上的依次为所需拦截弹数量50、100、200、250、300、450的等高线,由于每目标所需拦截弹的数量n向上取整,所以,IB应向上取整为n的整数倍。例如对于SSPK 0.4≤k≤0.5,pt≤0.97,IB应取整为100,即每目标所需的拦截弹数量为10.若拦截目标中包含诱饵,所需的拦截弹数量应乘以系数W*/ W.

图1　拦截指标为p0(W) =0.6时齐射模式下拦截弹数量IBvs.pt、SSPKFig.1 Interceptor number IBvs.ptand SSPK for p0(W) = 0.6 at the mode of salvo fire

3.2拦截弹连续方式

相比于齐射拦截,连续发射方式下,后续发射的拦截弹针对的仅仅只是在上一次打击中逃逸的目标,在同一拦截指标下,减少了所需的拦截弹数量,降低了拦截站对常备武器库数量的要求,特别是对于移动平台来说,携带较少的拦截弹,机动能力大大增强。但是,由于弹道导弹飞行速度快,在同一拦截站出现的拦截时间窗口短,通常不具备发射多轮拦截弹的机会。

这里以两轮拦截为例讨论,若s表示第一轮拦截窗口发射的拦截弹数量,则所需的拦截弹总数IL为

式中:n为按照(9)式计算的需发射的拦截弹数量。若定义反导系统识别目标威胁比率:

则(12)式可被重写为

式中:n＇表示在两层拦截方式下平均每个目标所需拦截弹数量。

图2所示为相同拦截指标下,采用齐射方式拦截和连续发射方式拦截时所需拦截弹数量的对比。由图2(a)可见,两种拦截方式,所需拦截弹的数量都随拦截指标W增加,连续发射方式下所需的拦截弹数量要明显小于齐射模型,并且,随着威胁目标中诱饵数量的增加,这种趋势更加明显;图2(b)同时比较拦截弹数量随SSPK和W的变化,随着SSPK的降低,所需拦截弹数量急剧增长,但连续发射方式仍然优于齐射。

图2　当p0(W) =0.6时齐射方式和连续发射方式下的拦截弹数量变化情况Fig.2 Interceptor number for p0(W) =0.6 at the modes of salvo fire and string firing

尽管如此,由于弹道导弹飞行速度快,同一拦截站出现多次拦截时间的可能很低,通常采用分层防御的方式由多个拦截站依次拦截。

4　分层防御

假设3 各层防御系统依次对目标进行拦截,本层逃逸的目标可尝试在下层再次拦截,因此,各层防御系统拦截弹的使用都是采用齐射方式而不使用连续发射方式。

若每层拦截弹的SSPK独立同分布,各层针对每目标发射的拦击弹数量表示为nm,m = 1,2,…, M.为了简化分层拦截时拦截弹的部署优化问题,假设各层的广义跟踪概率都为1,则第m层拦截系统目标拦截概率表示为

若定义wm表示第m层出现的目标的概率,则

为了保证各层发射的拦截弹整体效能最优,定义平均每目标消耗拦截弹数量EC和平均每逃逸目标消耗拦截弹数量EE:

表1　EE=10和不同拦截方案下的平均每目标拦截弹消耗数量变化情况Tab.1 The average number of consumed interceptors for EE=10 for different intercept schemes

(16)式中:平均每目标消耗拦截弹数量度量的是拦截弹的使用效率,EC越小,概率意义下拦截弹的平均使用效率越高;平均每逃逸目标消耗拦截数量用来度量单个目标逃逸的可能,EE越大,概率意义下目标逃逸的可能越小。

以3层拦截为例M≤3,拦截指标为W = 64, p0(64) =90%;假设目标中不存在诱饵弹,且各层的广义跟踪概率都为1,即pt=1;各层拦截弹SSPK独立同分布,即k =1/2.则按照(9)式,理论上每目标发射的拦击但数量应为n = 10,所以有EE=10 = n1+ n2+ n3,在此条件下,求解n1、n2和n3的值,使得EC最小。

表1列举了2层防御和3层防御情况下,不同拦截弹分配方案对平均每目标拦截弹消耗的变化情况,其中w1= 1,wm按照(15)式依次计算,定义cm为每层平均消耗的拦截弹数量,则有cm= wmnm, EC=Σcm.显然最优的拦截方案有3种组合,即n1∶n2∶n3分别为1∶2∶7、2∶2∶6和1∶3∶6.图3为3层防御情况下,EC随拦截方案的变化情况,其中χ轴和y轴分别表示第1层和第2层每目标发射拦截弹的数量n1和n2,n3=10-n1- n2,与表1结论相同, 当n1∶n2取1∶2、2∶2和1∶3时,EC最小,概率意义下拦截弹使用效率最高。

图3　p0(64) =0.9时EC随拦截方案变化的情况Fig.3 The values of ECfor p0(64) =0.9 for different intercept schemes

以1∶2∶7的拦截方案为例,针对来袭的64个弹头,在第1层拦截的时候每目标发射1枚拦截弹,在第2层拦截的时候,对剩余的目标每目标发射2枚拦截弹,在第3层拦截的时候,再对每目标发射7枚拦截弹。在这种拦截方案下,目标的逃逸概率为(1-1 /2)10≈1-p0(64)1/64,与拦截指标p0(64)要求一致,并且保证概率意义下,拦截弹的数量最少,平均拦截每个目标消耗的拦截弹数量为2.875枚。

5　结论

本文从拦截弹的分配和部署的角度对反导系统的效能进行分析,在概率模型的基础上将拦截弹数量和防御指标进行关联,针对拦截弹的齐射发射方式和连续发射方式讨论了防御指标、系统跟踪概率、拦截弹目标毁伤概率等对拦截数量的影响。最后,定义了每目标拦截弹消耗数量作为评价指标,在保证拦截指标的前提下,研究了分层防御拦截方案的最优化问题。

事实上,弹道导弹的防御与诸多因素密切相关,本文对诱饵弹的释放方式和拦截弹杀伤效果做了理想化假设,并将目标的探测跟踪制导等一系列过程对最终拦截效果的影响用广义跟踪能力进行简化。而在实际中,这一概率与反导系统的指挥控制系统、各型探测装备、火控系统以及人员操作水平等复杂因素相关。尽管如此,本文所采用的概率模型和拦截弹优化的思路仍然可以为拦截方案的设计和评估提供理论依据,确保拦截作战整体作战效能最优。下一步的工作将进一步考虑拦截过程中存在的多拦截站相互交接和协同等问题,建立更精细的模型,讨论这些因素对拦截效能的影响。

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The Optimization and Evaluation of Ballistic Missile Defense System Interception Scheme Based on Probability Model

GAO Ang1, HU Yan-su2
(1.School of Electronics and Information, Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,Shaanxi, China 2.School of Electronic and Control Engineering, Chang’an University,Xi’an 710064,Shaanxi, China)

Abstract:How to design and deploy the interception schemes to meet the specific high-level defense objective is discussed.A correlation between defense objective and the number of interceptors is established based on Bernoulli trial model, and the effects of system generalized tracking ability and single-shot kill probability on the number of interceptors are analyzed as well.the factors, such as high-level defense objective, target number and single-shot kill probability, that affect consumption of interceptors at the modes of salvo fire and string firing are discussed.At the premise of defense objective, the interceptor allocation in a layered defense is modeled as an optimization problem.The average number of consumed interceptors can be minimized by optimizing the quantity of interceptors against the targets in each defense layer.

Key words:system assessment and feasibility analysis; ballistic missile defense system; Bernoulli model;interception

作者简介:高昂(1984—),男,讲师,博士。E-mail: gaoang@ nwpu.edu.cn;胡延苏(1985—),女,讲师,博士。E-mail: huyansu@163.com

基金项目:国家自然科学基金项目(61203233)

收稿日期:2015-08-05

DOI:10.3969/ j.issn.1000-1093.2016.02.026

中图分类号:V19

文献标志码:A

文章编号:1000-1093(2016)02-0379-06