圆锥曲线的一组性质

■陕西省柞水中学党显武

圆锥曲线的一组性质

■陕西省柞水中学党显武

圆锥曲线问题是高中数学的重点和难点，每年的高考都会涉及，然而由于出题形式多有变化，加之其系统性和综合性强等特点，很多学生会在此失分.因此教师应特别注意圆锥曲线问题的教学.在教学中笔者发现，圆锥曲线有如下几条相互联系的性质，在此进行归纳总结、分析论证，愿与大家共享.

性质1：在圆锥曲线C中，点F与直线l是曲线C相应的焦点与准线，点M是准线l上任意一点.过点M作曲线C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B；直线MA、MB、MF的斜率分别为k1、k2、k0.

则：k1+k2=2k0.

以椭圆为例证明.

消去y得：

因为直线MA、MB与曲线C相切，所以在方程①中，Δ=0.即

从而，k1，k2是方程②的两根.

所以k1+k2=2k0.

三点A、F、B不共线.若考虑三点A、F、B共线，即直线AB过曲线C的焦点F时，进一步发现圆锥曲线具有另一个相类似的性质.

性质2：圆锥曲线C中，点F与直线l是曲线C相应的焦点与准线，点M是准线l上任意一点.过焦点F的直线交曲线C于A、B两点.直线MA、MB、MF的斜率分别为k1、k2、k0.则：k1+k2=2k0.

以抛物线为例证明.

证明：设抛物线C:y2=2px（p＞0）

由题意可知，过焦点F的直线AB的斜率不为0.

，消去x，得到y2-2pky-p2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是方程的两个根，

从而，Δ=4p2k2+4p2＞0，

所以：y1+y2=2pk，y1·y2=-p2.

所以k1+k2=2k0.

进一步考虑点M的位置对∠AMF与∠BMF大小关系的影响，再得到圆锥曲线的一个性质.

性质3：圆锥曲线C中，点F与直线l是曲线C相应的焦点与准线，点M是准线l上任意一点.过焦点F的直线交曲线C于A、B两点.

（1）若点M是曲线C的准线l与对称轴的交点，则直线MF平分∠AMB；

（2）若直线MF平分∠AMB，则点M是曲线C的准线l与对称轴的交点.以双曲线为例证明.

由性质2得，k1+k2=2k0，

所以k1+k2=0.

所以：直线MA、MB关于x轴对称.

所以∠AMF=∠BMF，即直线MF平分∠AMB.

（2）若直线MF平分∠AMB，即∠AMF=∠BMF，

则tan∠AMF=tan∠BMF.

根据直线l1到l2的角的计算公式，得

化简，得k02（k1+k2）+2k0-2k0k1k2-（k1+k2）=0.

由性质2知，k1+k2=2k0，代入、化简，得：

因为k1≠k2（否则直线MA、MB重合），

所以k0=0.

所以y0=0.因此

则点M是曲线C的准线l与对称轴的交点.

总之，由于圆锥曲线问题的教学难度比较大，教师在平时的教学中，要注意把握住重点，循序渐进地进行渗透，切不可急于求成，造成知识“拥堵”的现象.对于学生提出的问题，教师在进行耐心解答的同时，还要让学生对知识进行梳理和总结，这样才能融会贯通，从而提高教学效率.

编辑/王一鸣

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