基于MUSIC方法在电力系统谐波恢复中的研究

肖洒，杨雨薇，任贝婷，李浩，陈黎

(三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌443002)

基于MUSIC方法在电力系统谐波恢复中的研究

肖洒，杨雨薇，任贝婷，李浩，陈黎

(三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌443002)

电力谐波的危害不容忽视，我们根据谐波结果分析探讨并采取相应防护措施是极为重要的。本文在现代谱估计方法的基础上详细叙述了多重信号分类方法的理论，提出采用MUSIC算法恢复谐波。仿真结果表明，本方法对于恢复谐波具有良好的效果。

电能质量;电力系统谐波;谐波污染;现代谱估计方法;MUSIC算法;谐波恢复

1 引言

在现代社会中，电子仪器设备的多领域广泛应用使得电力系统网络中出现了大量的谐波。谐波的增加对谐波的污染有很大的影响，会更进一步促进污染的扩散，将会变得越来越严重，而且对电网的安全运行也存在着严重的安全隐患。谐波非常复杂，种类非常多，其中，按照频率的倍数可分为:工频整数倍频率的谐波和非工频整数倍的谐波。其中，非工频整数倍频率的谐波里面又可以进行很小的分类，包含次谐波和间谐波就属于其中两种代表性的谐波。电力谐波对电力的影响很大，不仅会引起电能质量的下降，还会影响线路的稳定运行与电网容量的浪费，严重的还会对电力设备造成电磁干扰甚至运行瘫痪。因此，对电力系统谐波进行深度检测并且在此基础上进行进一步分析，采取安全有效的措施，对电网安全具有非常重大的意义。

针对电力谐波的检测问题，在国内外很多文献中都有提到，几乎每位专家学者的见解都有所不同，而且都有各自不同的优缺点。比如，加窗插值FFT算法，对于其参数测量准确度而言可以得到显著的提高，但它也有自身的缺陷，针对部分特定的间谐波无法进行测量，从而对结果产生很大影响;连续小波变换法，对于次谐波和间谐波的检测能够达到很高的精度，但是针对尺度不同的小波函数，容易出现在频域中相互干扰的问题;Welch方法，对于间谐波、谐波的建模和分析非常有效，而且对于个谐波正弦分量的相角、幅值和频率都能进行准确的估计，但是它的计算复杂度高，求解过程复杂;上述方法，虽然在一定程度上有各自的优点，但是也存在频率分辨率受限，计算量大，复杂度高等问题，所以在具体应用中仍存在着局限性。

以上方法中所存在的问题，近年来，一些学者开始想到利用现代谱估计方法来处理电力谐波中出现的问题。随着对这个问题的不断研究，在谐波和间谐波的超分辨率分析与检测上面广泛被用到了这种方法。其中多重信号分类方法［10－11］(Multiple Signal Classifica-tion，MUSIC)比较具有代表性。MUSIC算法早在1979年就被R.O.Schmidt等人提出，这一问题的提出及应用对特征结构类算法和空间谱估计算法研究具有积极推进作用，而且也促进了多重信号分类算法在多学科的应用和兴起。此算法对一些如波束形成法的之前算法也有所提出，处理方法是通过对阵列的接收数据协方差矩阵进行直接处理的。而MUSIC算法主要用到的是以下两种原理，一种是利用噪声子空间和信号子空间的正交性对信号波达方向进行超分辨估计，另一种就是基于阵列协方差矩阵特征分解。该方法通过引入线性空间的概念到波达方向估计中，利用噪声以及信号子空间相互正交的特征，使信号入射角的分辨能力得到明显的提高，物理意义明确，具有良好的参数估计性能。

2 电力谐波的基本概念

正弦电压表示为:

式中:U为电压有效值，φ为初相角，w=2πf。

电力谐波产生的电压输出的波形和施加的线性无源元件无关。而是通过比较其所施加的电路和线性电路之间的关系进行判断:如果施加在非线性电路上时即电流就为非正弦波。由于电网阻抗受到非正弦电流的影响，继而会产生电压压降，最终会造成电压的波形发生逆变，变化为非正弦波。针对周期不同的非正弦电压，如周期为T=2π/w，在满足狄里赫利的条件下，可通过相关变换进行分解，分解为傅里叶级数，具体形式如下:

由以上式(2)、(3)中的傅里叶级数我们可以知道，基波是频率为1/T的分量，而谐波是频率为整数倍基波频率的分量。称为n次谐波电压含有率，如式(4)所示。

在式(4)中，Un定义为第n次电力谐波电压的有效值;U1为基波电压有效值。

HRIn称为n次谐波电流含有率，具体表示如下:

电流谐波总畸变率THDi定义如下所示:

电压谐波总畸变率THDu定义如下所示:

根据上面的公式以及有关电力谐波的基本概念可以看出，因为电力谐波的频率相对于基波频率要高，所以我们也可以把谐波称为高次谐波，这种叫法也是合理的。

3 经典功率谱估计Welch算法

经典谱估计的工作原理，即通过将数据工作区外的其他一些未知数据假设为零。它的方法从大体上可以分为以下四类:一是通过利用随机序列求谱的自相关法，一种就是直接通过FFT求谱的直接法，还有两种就是通过不断改进后的Bartlett法和Welch法。Welch法是其中一种很特殊的方法，具体描述如下。功率谱曲线的重要性可想而知，因此，为了得到它，Welch算法在Bartlett法的相关研究基础上做了两个重要的修正。首先在对xN(n)进行分段时，数据之间的交叠有一定的允许空间。其次在计算周期图之前，要对对数据段进行一定的处理，即加窗操作，但是对于每一段的数据窗口的具体形状没有硬性规定。将每一段的功率谱记为即:

根据上面公式可以看出，由于Welch算法对信号的交叠具有可允许的空间，这样对于方差特性的进一步改善能够起到很好的效果，并且能够使得方差的减小相比理论值还是有一定的差距。另外，对于分辨率的进一步改善，我们可以通过窗函数的正确选择来减小频谱不必要的遗漏。

4 多重信号分类(MUSIC)的基本理论与方法

考虑M个阵元的等距阵线所接收到的某个远场谐波信号si(k)，(i=1，…，p)，设信号到达每个阵元的波达方向角为θi，(i=1，…，p)，其中p为远场信号的个数。那么相对于每个阵元所接收到的第i个信号之间的关系可描述如下:第k个阵元接收第i个信号为si，k=Aicos(wit+φi)，其主要原因是，两者之间的传输距离不一样，信号到第k+1个阵元的传播距离比相比之下比信号到第k个阵元长dsinθi(其中d为相邻两个阵元之间的距离)要远很多，所以接受到的信号在时间上要延迟dsinθi/v。式中，v为信号的传播速度。所以:

如下所示，波长、角频率、速度以及周期，它们之间满足以下关系:

把(11)代入(10)式得:

通过式(12)，相邻两个阵元之间的相位差满足以下公式:

因此，信号si到m个阵元的之间相位差可用如下公式表示:

由以上公式可知，各阵元在观测白噪声下所接收到的信号如下公式所示:

为了方便推导，可用下面向量形式表示:

其中:

对(15)、(16)式中所列出的阵列信号进行以下2种假设:

假设1.针对不同的dwi值，不同向量a(dwi)两者相互之间线性独立。

假设2.矩阵P=E{s(n)sH(n)}非奇异。

在以上假设下，由(16)式可得:

从上面推导的公式可知，只要对Rxx进行特征值分解Rxx=U∑UH，就可以分别得到噪声和信号的特征值与特征向量U=［S| G］，也就是与之相对应的，信号子空间的基S=［u1，…，up］与噪声子空间的基G=［up+1，…，um］。

通过上面的分析，我们可以进行类似的推导，具体推导如下所示:

由(18)、(19)两式可以得到APAHG=0，进而有:

再将A(dw)=［a(dw1)，…，a(dwp)］代入(10)式，有:

由以上可知，我们可以定义一种类似功率谱的函数，具体如下所示:

称为空间谱。

总结MUSIC方法为:首先求得相关矩阵的Rxx，并且对Rxx的特征值进行分步分解，然后通过取它的信号子空间或者噪声子空间，构造新的函数p(dw)，并且求得p(dw)的峰值，那么在p(dw)峰值所对应的dw处的值会给出p个波达方向角的估计。

5 实验仿真

我们可以将在MUSIC算法中相邻两阵元间因距离延迟所引起的相位差与相邻信号间因时间延迟引起的相位差相类比，从而可以将矩阵线上阵元所接收到的信号用不同时刻测得的一系列数据代替。通过这样的相似转化，观测数据可以取为:

经过这样的处理之后，我们可以利用MUSIC方法来进行实验仿真。

所用仿真信号的表达式:

其中w(n)高斯白噪声，f1，f2分别为:0.2，0.213; 0.3，0.313;求观测数据的自相关矩阵:

矩阵特征值的分解:Rxx=U∑UH，并分别得出信号子空间与噪声子空间的一组基S=［u1，…，up］与G=［up+1，…，um］。这里我们需要注意到MUSIC方法理论中所说的p是以e为底的指数形式表示的信号个数，而实验仿真中用到的信号是正弦函数组成的谐波信号，它们有如下关系:

每个正弦信号可以看成是2个指数形式的信号的叠加，并且对应的阶数为2。

5.1 实验结果

图3 空间谱分布(横坐标为频率f，纵坐标为20log|Pw|)

表1 极值点及对应的频率

6 结论

从图1，2中可以看到，在Welch算法中当数据的分段长度nfft由256减小到128时，表现为谱分析分辨能力的明显下降。即在实际应用中，进行有效合理的选择分辨力参数对分辨能力有很大影响，如若不然，会降低谱估计对信号的分辨能力。数据采集时信号功率谱分辨力的高低与采样频率有关，一旦采样频率减小，就会导致相对采样点数减少，相应的也会降低信号功率谱的分辨力，并且连锁反应，还会对功率谱估计方差以及噪声水平产生很大影响。信号与噪声的分辨和信噪比的高低有很大关系，一旦信噪比较低，要想区分信号与噪声就显得非常不容易了。虽然Welch方法在分辨力和方差上面在一定条件下能够满足谱估计的要求，但在另外一些特殊并且受限的条件下，它的应用非常受限，有很大的局限性，特别是在信号数据过短以及当瞬间信号无法进行过多数据的观测等情况。

从图3可以观察出来，空间谱分布图和实验之前事先预期的结果吻合，峰值出现在与所给信号相对应的两个频率处，从图1中两个峰值所对应的频率可以看出:两个峰值所对应的频率几乎在一个点上面，但是由图形可以发现峰值的分辨是非常明显的。MUSIC算法在波达方向估计中引入线性空间的概念，通过对信号自相关矩阵或协方差进行特征值分解，在噪声子空间将信号进行投影，之后利用伪谱函数的峰值来获取实际的频率值。经过试验仿真可以得到表1，并且从表1可以看出，根据结果求出在不同对应信号的频率分别为0.2000和0.2130;0.3000，0.3130;与实验提供的数据的谐波频率非常接近，几乎一模一样。经过以上分析以及仿真可知，利用MUSIC的方法来对电力系统谐波进行恢复效果是非常好。

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Study on the Harmonic Recovery of Power Systems Based on MUSIC Method

XIAO Sa，YANG Yu-wei，REN Bei-ting，LI Hao，CHEN Li
(College of Electrical Engineering＆New Energy，Yichang 443002，China)

The harm of power harmonics can not be ignored，according to the analysis of harmonic results and take appropriate protective measures is very important.Based on modern spectral estimation method based on the described in detail the theory of multiple signal classification method is proposed using music algorithm for harmonic retrieval.The simulation results show that，this method has good effect of harmonic retrieval.

power quality;power system harmonic;harmonic pollution;modern spectral estimation method;MUSCIC algorithm;harmonic retrieval

TM711

B

1004－289X(2016)04－0077－05

2015－06－10

肖洒(1989－)，男，湖北黄冈人，在读研究生，从事电力系统运行与控制方向研究;

杨雨薇(1995－)，女，湖北武汉人，学生，从事电力系统运行与控制方向研究;

任贝婷(1994－)，女，湖北孝感人，学生，从事电力系统运行与控制方向研究;

李浩(1988－)，男，湖北武汉人，在读研究生，从事电力系统运行与控制方向研究。