探究“勾股定理”教学中难点的突破方法

⌾ 李梅 岳东旭

探究“勾股定理”教学中难点的突破方法

⌾ 李梅 岳东旭

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。是整个平面几何的基础，在现实生活中被广泛应用。人民教育出版社义务教育教科书八年级数学在编写的过程中虽然注意到了学生接受知识需要经历感知、理解、巩固、应用的过程，设计中重视学生动手能力的培养，然而教材设计过程中学生思维存在很多障碍，教学中要注重引导，帮助学生顺利突破思维障碍。

勾股定理；直角三角形；探究活动；平面几何；重要基础

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。是整个平面几何的基础，在现实生活中被广泛应用。而勾股定理的教学却难点重重，实际课堂教学效果大打折扣。

人民教育出版社义务教育教科书八年级数学在编写的过程中虽然注意到了学生接受知识需要经历：感知、理解、巩固、应用的过程，设计中重视学生动手能力的培养，然而教材设计过程中并未给出教学难点突破的方法。如何能在实际教学中引导学生顺利突破思维难点，实际教学中笔者做了以下的探究，效果显著。

一、证明勾股定理——拼图

虽然勾股定理的证明方法迄今为止已逾500种，但让学生很自然地想到证明方法是很困难的，特别是学生如何想到用4个全等的直角三角形拼成正方形，利用“等积法”证明。

情景再现：利用手中的四个全等的直角三角形拼图证明勾股定理

思维障碍：(1)为何要用拼图证明？(2)为何要用直角三角形拼图？(3)拼成什么样的图形？

突破方法：(1)引导学生思考勾股定理表达式a2+b2=c2,对于等式的证明一般采取从一侧证向另一侧，或者是两侧向中间证明的方式。然而，对于本式两侧都是简单的形式，不能再化简，另一方面引导学生思考勾股定理本身是从“形”到“数”的一个过程，以及学生在学习完全平方公式时，曾用过几何图形验证过完全平方公式的正确性。若在教学中能在这里引导学生思考，则学生很自然可以想到利用几何图形证明勾股定理。从而解释了学生心中所产生的第一个疑惑，顺利突破第一层次的思维障碍。(2)引导学生回顾勾股定理的发现过程，它揭示的是直角三角形三边之间的数量关系。因此在证明过程中自然要用直角三角形作为基本构图素材。(3)引导学生观察勾股定理表达式a2+b2=c2本身的特点，再结合回顾勾股定理的发现过程，学生不难发现式子本身符合正方形的面积公式。因此拼成正方形有利于证明定理。教师进一步引导，既然拼成正方形，那么对所需要的直角三角形用什么样的要求？比如需要几个，比如几个三角形是否需要全等等。

二、“选数画图”——猜想

情景再现：画画看，写出几组三角形三边长，并探究它们之间满足的数量关系，画出这些三角形，量量看它们是否是直角三角形。

思维障碍：(1)选哪些数？(2)数量之间的关系有多种。(3)画图存在误差。

教学建议：

基于以上三个问题，教材中所呈现的活动不具有可操作性，即便是让学生动手操作也是一种假探究，因此在实际教学过程中直接删去。

三、证明逆定理——构图

情景再现：证明命题2如果△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

思维障碍及突破方法：

本环节教材中给出的证明方法是：先画两条直角边分别为a,b的直角三角形，如果△ABC与这个直角三角形全等，那么△ABC就是一个直角三角形。

这里如果教材不直接给出思路，学生很难想得到。在实际的教学过程中要引导学生思考所用方法的必然性和合理性。一方面引导学生回顾所掌握的直角三角形的证明方法，无外乎两角互余，一个角是90°，或者证明和已知的一个直角相等。进而继续分析问题中给出的条件发现，我们根本无法直接证明两角互余或者有一个角是90°，那么我们只有第三种方法可用，即证明其中一个角和已知的直角相等。因此必须先构造直角，且还方便证明相等。这样学生容易想到刚学过的三角形全等知识。构造一个直角边分别为a,b的直角三角形便显得自然顺畅。下面就是寻找三角形全等的条件。因为条件中没有有关角的条件存在，三角形全等就是有“SSS”这一唯一的判定方法，到此难点得以突破。

[1][美]迈克尔·塞拉．发现几何：一种归纳的方法[M]．李翼忠，刘仁苏，蔡上鹤，等．北京：人民教育出版社，2000．352．

[2]朱哲，张维忠．从赵爽弦图证明谈数学史教学应尊重历史[J]．中学数学月刊，2005，(10)：12—14．

[3]人民教育出版社义务教育教科书八年级数学下册。中学数学课程教材研究开发中心编著。2013年10月第一版。

安徽省阜阳师范学院附属中学 236000)