□于化平
分类话勾股
□于化平
在用勾股定理解题时,有时会遇到多种情况,稍不留神就会造成错解,这就需要我们利用分类讨论思想求解.为帮助同学们解决这类问题,现将勾股定理中需用到分类的问题加以浅析.
例1(2015·江西)如图1,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为______.
分析:利用分类讨论,当∠APB=90°时,易知∠PAB为60°或30°,利用特殊三角形的性质求得AP的长;当∠ABP=90°时,易得BP,利用勾股定理可得AP的长.
图1
图2
解:分三种情况讨论:
(1)如图2,当P在△ABC内部,∠APB=90°时,
∵AO=BO,
∴PO=AO=BO=2.
又∠AOC=60°,
∴△APO是等边三角形,
∴AP=2.
(2)如图3,当P在△ABC外部,∠APB=90°时,
∵AO=BO,
∴PO=AO=BO=2.
又∠AOC=60°,
∴∠BAP=30°.
∵AB=4,∴BP=2.
在Rt△ABP中,
图3
图4
(3)如图4,当∠ABP=90°时,
∵BO=AO=2,
点评:本题涉及到的知识有勾股定理、含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,而分类讨论、数形结合是解答此题的关键.
例2(2015·通辽)如图5,在一张长为7cm、宽为5cm的矩形纸片上,剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为______.
图5
分析:因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分三种情况进行讨论:
(1)如图5,△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可;
(2)如图6,先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再代入面积公式求解;
(3)如图7,先求出AE边上的高DF,再代入面积公式求解.
解:分三种情况计算:
(1)当AE=AF=4时,如图5,
图6
图7
(3)当AE=EF=4时,如图7,
则DE=7-4=3,
点评:本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形腰位置的不确定分情况讨论,有一定的难度.