对人教版数学教科书一个问题设计的质疑

王伟民

摘 要 因为分子是构成物质的仍能保持其化学性质的最小微粒，所以，一定大小的物体是不可以无限制的分割下去的。以此为论据，论证教科书对容器中水无限分割的方法欠妥，并提出修改方案。

关键词 容器 水 分子 原子 测量

义务教育教科书（人教版）八年级数学上册第十六章《分式》，在其第二节“16.2分式的运算”结束部分有一个“阅读与思考”板块，标题为“容器中的水能倒完吗”，以一个装有给定体积水的容器为对象，并按一定的规则分次向外倒水为背景，设计了一个耐人寻味的问题（详见教科书148页）——

“一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……按照这种倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？”[1]

应该说，这几乎是所有学生都非常感兴趣的一个问题（实际上，即便是作为成年人的教师，在首次看到该问题的时候，也会有一种不求出问题的结果，誓不罢休的欲望——该问题设计得有点“太”吸引人了），当然，看到该问题后，读者（特别是学生）最先想到的解决方法也许是通过实验来探寻问题的答案，但稍加分析便会发现“此路不通”，由问题中的“倒水规则”可知，随着倒水次数的不断增加，每次倒出水的体积将会逐次减小，测量难度将会逐渐增大，正如课本所言，“当倒出的水量很小时测量的难度非常大”，甚至成为不可能（因为测量工具的最小分度值是一定的，当被测量的某个物理量比测量工具的最小分度值小得过多时，测量工具就没法再用了），这样就自然而然地将问题的解决方法“转移”到数学方法上来。我们仍然看教科书提供的方法——

接下来，课本进行如下“总结”——

“可以发现，按这种方法倒水，随着倒水次数n的不断增加，总倒出水量也不断增加，然而，不论倒水次数n有多大，总倒水量总小于1。因此，容器中的1升水是倒不完的。这样，我们就用数学方法分析解决了上面的问题”[1]。

乍看起来，这的确是一种非常“完美”的解决方法，而且是“纯粹”的数学法——用数学方法解决了实验探寻不可能解决的实际问题，但仔细推敲就会觉得不合适。

我们知道，水是由水分子组成的。对于1升水而言，尽管里面所含的分子个数非常多，是一个天文数字，但分子的个数再多也是有限的，如果按照问题设计中的倒水“规则”不断向外倒水的话，倒n次之后，容器中所剩水的体积为，当n不断增大时，剩余水的体积将不断减小，当减小到与一个水分子的体积一样大，或者虽大于一个水分子的体积但却小于两个水分子体积的时候，容器中将只剩下一个水分子（n充分大时，这种结果将成为必然！因为分子的个数只能是正整数——不论实际操作能否做到这一步），这时，若仍按问题设计中的倒水“规则”向外倒水的话，我们只能将一个水分子拆开，将其中的氢原子或氧原子或者某原子的一部份“倒出”，而水分子一旦拆开（一个水分子是由一个氧原子与两个氢原子所组成），哪怕只少了其中的一个原子或一个原子的一部分，水分子都将“摇身一变”，变成了另外的一种新的物质，容器中的水将不复存在，到这一步，容器中的水将被“彻底”倒完！

应该说，教科书中该问题设计的初衷是好的，通过具体问题的解决，不但使学生学到一种巧用数学手段解决实际问题的方法，而且还可以激发学生学习数学的浓厚兴趣。但问题设置中选择的对象不太合适——将水选作了研究对象，而水这种实体物质不可以无限地“分割”下去。如果课本将研究对象适当调整，比如，调整为可以无限分割的一条确定长度的线段，而将问题改成下面的形式，就不会出现上面的“问题”了——

一条线段长1米，一动点从线段的一端按如下规则向另一端运动：第1秒走米，第2秒走米的，第3秒走米的，第4秒走米的……第n秒走米的……按照这种运动方法，这1米长的线段经多长时间可以走完？

按教科书的分析方法，其答案显而易见，经历再长的时间，动点也不可能走完这1米长的线段！

参考文献

[1]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书·数学（八年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2013.

【责任编辑 郭振玲】