在教学过程中如何培养学生的数学能力

黑虎

数学能力包括运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、建模能力和实践能力（应用能力）以及分析问题和解决问题的能力。它们相辅相成、相互促进各自的形成和发展。下面从五个方面谈如何培养学生的数学能力。

一、如何培养学生的运算能力

运算能力是数学能力的基础，各种数学能力都离不开运算能力，所以要想培养数学能力，首先要培养运算能力。培养学生的运算能力时，老师们必须有目的、有计划地选好题型、题量、题度。题型不能单一，题量不能过多，题度不能过难或过易。

例如，函数y=x3+ax2+bx +1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R。

（1） 求曲线y=f（x）在点（1， f（1）） 处的切线方程。

（2） 设g（x）=f'（x）ex ， 求函数g（x）的极值。

解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1。

故f'（x）=3x2+2ax+b。

令x=1，得f'（1）=3+2a+b，又已知f'（1）=2a。

因此3+2a+b=2a，解得b=-3。

又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，又已知f'（2）=-b。

因此12+4a+b=-b，解得a=-。

因此f（x）=x3-x-3x+1，从而f（1）=-。

又因为f'（1）=2×- =-3，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-- =-3（x-1），即6x+2y-1=0。

（2） 由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x。

从而有g'（x）=（-3x2+9x）e-x。

令g'（x）=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3。

当x∈（-∞，0）时，g'（x）<0，故g（x）在（-∞，0）上为减函数；

当x∈（0，3）时，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上为增函数；

当x∈（3，+∞）时，g'（x）<0，故g（x）在（3，+∞）上为减函数。

从而函数g（x）在x1=0处取得极小值g（o）=-3，在x2=3处取得极大值g（3）=15e-3。

二、 如何培养学生的逻辑思维能力

在数学诸多能力中，逻辑思维能力是核心，其他能力的培养都离不开逻辑思维能力，而且它还促进着人的发散思维的形成和发展。逻辑思维能力的最大功能是开发智力、培养能力，最大特点是严密性强。所以，可用逻辑性严密题来培养学生的逻辑思维能力。

例如：已知∠AOB ：∠BOC ：∠COD ： ∠DOA = 1：2：3：4。求∠BOC的取值范围。

解：如图1：上述各角同一方向旋转时，由图知∠AOB+∠BOC+∠COD+ ∠DOA= 360°

且∠AOC ：∠BOC ：∠COD ：∠DOA= 1：2：3：4

即原式=∠AOB+2∠AOB+3∠AOB+ 4∠AOB= 360°

即∠AOB= 36°

∴∠BOC= 72°

如图2：上述各角不同方向旋转时，由图知：

∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA= 2∠BOC+2∠COD≤720°

（∵∠AOB=∠AOC，∠AOD= ∠AOC+∠COD）

即0°<2∠BOC+3∠BOC≤720°

∴ 0°<∠BOC≤144°

∴由图1、图2知0°<∠BOC≤144°

三、如何培养学生的空间想象能力

数学不仅研究客观世界的数量关系，还能研究客观世界的空间形式。空间想象能力的培养对人的立体思维的形成和发展有很大帮助，空间想象能力是日常生活中不可缺少的一种能力。如地理勘探、星体研究、建筑设计等都离不开空间想象能力，学生的空间想象能力的培养主要靠立体几何和空间解析几何教学。

例如：如图3，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为，侧棱长1，求证：A1B1⊥BC1。

证明：异面直线所成的角等于它们的平行线相交而成的角。连接B1C，设B1C与BC1交于点E，则E是B1C与BC1 的中点（∵BCC1 B1是长方形），过E作 ACB1的中位线EF，则EF=AB1，EF∥ AB1。

∴∠FEB就是AB1与BC1所成的角。

Rt ABB1中， AB1=Rt BB1C1中，BC1=。

即 EB= EF=。

正三角形ABC中，中线BF=×=。

在 EFB中EF 2+ EB 2=FB 2，+= 。

即 ∠FEB=90°

∴AB1⊥BC1。

四、 如何培养学生的分析问题和解决问题的能力

分析问题是解决问题的途径，分析问题能力又是解决问题能力的条件，解决问题能力是分析问题能力的结果。它们相辅相成，互相促进各自的存在和发展，它们在数学诸能力形成中起着关键作用，任何能力最后都体现在解决问题上。它们的最终目的是解决问题，又是实践能力和建模能力的基础。分析问题和解决问题能力是在整个数学能力中无处不在的普遍能力。所以，培养学生的此能力要选思维方式比较多的题为好。

例如：某城市在市中心广场建筑一个花坛，花坛分为6个部分（如图4），现要栽种4种不同颜色的花，每部分要种同一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花。求共有多少种栽种方法。

分析：因为1﹑2﹑3部分相互相邻。

所以1﹑2﹑3部分栽种方法共有4×3×2种；第4部分有两种选法与第二部分相同和相异。（与1﹑2﹑3部分相同的用@代表，如与第二部分相同的用②代表，不同的用“新”代表。）

若4与2相同且5与3相同时6只选另一种（新）。若4与2相同但5选另一种（新）时6只选3。

若4与2不同选另一种（新）且5与2相同时6选3或另一种（新）。

若4选另一种（新）且5与3相同时6选另一种（新）。

解：栽种方法共有

即栽种方法共有4×3×2×（1×2+1×3）=120种。

五、 如何培养学生的实践能力和建模能力

建模问题是数学教学中的旧话题新说法，没有建模，数学与客观世界无法联系。但传统教学一直没重视培养学生的建模能力。课标教学全日制高中课本中无处不在研究建模问题，所以说建模问题是素质教育的产物。实践能力是建模能力的一个分支，且建模问题离不开应用问题，因为很多建模都在应用的基础上体现出来。应用能力和建模能力是数学诸能力的发展、概括和总结，是创新能力的基础、数学诸能力发展的极点。也是开发智力、培养能力的最佳途径。培养建模能力最好利用完全开放题，培养实践能力半开放题为佳。

例1：做一道利用二次函数的数学模型。

这是一道条件和结论都是开放的数学题，会给学生一个自由发展的空间，只有在这种环境下才能发挥学生个性和特长。让学生任选题材，让学生自己掌握题的难度和强度，在这种环境下培养出来的学生的能力总比在保守环境下培养出来的学生的能力强。所以说建模问题是素质教育的必经之路。

例2：1732年8月，《红楼梦》中人物史湘云与柳湘莲结婚后，双方都没有足够的钱去购买房院，于是他们找薛蟠借住每年相当于210元价钱的10000M2的房院。并且借据上注明，归还本房院时对方要还本付息，年利率为8﹪，但借据上没有说明按单利计算还是复利计算，过280年后的2012年，本房院划归为世界文化遗产。双方当事人的后代到法院打官司，说是利息支付不公平，要求法官判明是非。法官很纳闷，这么清楚的事还有必要打官司吗？请你们给法官解释清楚他们为什么说利息支付不公？

分析：这是一道结论开放型的题，利息可以按单利计算，也可以按复利计算。

解：按单利计算，本金=210×280=58800元。利息=16.8×（279+278+277+……+1） =656208元。

共计：本金+利息=715008元≈71.5万元。

按复利计算，本金=210×280=58800元。

利息=16.8〔（1+0.08）278 +（1+0.08） 277+（1+0.08） 276+……+（1+0.08）+（1+0.08）0〕

=210（109.3186-1）=210（109×100.3186-1）

=210（109×2.08257-1）≈4373亿元。

培养学生的数学能力是教学一线的数学老师们长期坚持的新课题，老师们在教学过程中有意注意上述五个方面，会得到事半功倍的效果。培养数学能力不是课本的简单改变，而是老师们知识的更新、教法的改进。只有这样才能培养出具有数学诸能力的合格人才。