确定采样型非线性滤波器的研究现状与发展趋势*

刘　炜　杨智勇　丛源材　刘群杰　康宇航

(1.91980部队装备处　烟台　264000)(2.海军航空工程学院　烟台　264001)(3.91515部队67分队　三亚　572016)



确定采样型非线性滤波器的研究现状与发展趋势*

刘炜1杨智勇2丛源材2刘群杰3康宇航2

(1.91980部队装备处烟台264000)(2.海军航空工程学院烟台264001)(3.91515部队67分队三亚572016)

摘要UKF、CDKF和CKF是近年来在国内外得到广泛研究和应用的一类非线性滤波器,它们具有一个共同的特点就是在滤波过程中通过一组确定采样点来计算非线性变换后的一二阶矩,因此将其统称为确定采样型滤波器。论文首先从确定型采样滤波器的理论发展与其在导航系统的应用出发,介绍了国内外在该领域最新的研究情况。结合确定采样型滤波器的特点,对UT变换、插值法则、容积法则三种确定采样型非线性滤波方法进行了介绍。最后,对确定采样型滤波器的未来发展、应用前景作了展望。

关键词非线性滤波; 确定型采样; 协方差; 确定采样

Research Status and Development of Deterministic Sampling Nonlinear Filters

LIU Wei1YANG Zhiyong2CONG Yuancai2LIU Qunjie2KANG Yuhang2

(1. The Office Equipment, No. 91980 Troops of PLA, Yantai264000) (2. Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai264001)(3. Unit 67, No. 91515 Troops of PLA, Sanya572016)

AbstractUKF, CDKF, and CKF belong to the same kind of nonlinear filters which is used widely in recent years. They are called as certainty sample filter because they have one common feature that calculating the first and second moment by a set of certainty sample points in the filtering process. Firstly, this paper introduces the last research status at home and abroad based on the deterministic sampling nonlinear filters’ theory and its application in the navigation. Then three deterministic sampling nonlinear filters’ method which are UT transform, interpolation principle and volume rule are introduced. At last, this paper makes a prospect of deterministic sampling Nonlinear Filters.

Key Wordsnonlinear filtering, deterministic sampling, covariance, deterministic sampling

Class NumberV488.234

1引言

工程实际中遇到的大多数系统,其本质上都是非线性的。但是大部分成熟的理论都是针对线性系统的,因此在建立系统模型时,通常会通过一些假设条件(例如对误差做小量假设)来忽略系统的非线性因素,从而建立线性系统模型。然而,当假设条件不满足时,线性化模型就会带来很大的误差,此时就必须采用能反映自身实际特性的非线性系统模型。

非线性滤波主要解决对非线性随机动态系统状态的估计问题,例如在导航和目标跟踪的应用中,要求根据含噪声的量测量对系统状态进行在线实时估计。由于这些系统大部分是非线性的,因此采用非线性滤波方法对系统状态进行实时估计是这一领域的重要研究方向。从广义上讲,最优非线性滤波可以通过递推贝叶斯估计进行统一描述,其中心思想是根据量测量确定非线性系统状态向量的后验概率密度函数。基于贝叶斯方法的滤波器以概率密度分布的形式融合了所有可用的信息,通过后验概率分布获得概率统计意义下的最优滤波结果,对于非线性和非高斯问题提供了统一的解决方法[1]。贝叶斯估计的最优解只在特殊情况下才能得到,如针对线性高斯系统的卡尔曼滤波器(Kalman Filter,KF)[2]。但是,在实际应用中,由于非线性模型和非高斯噪声的存在,使得贝叶斯估计难以实现,通常采用近似的方法得到次优解[3]。

针对非线性系统状态估计,应用最广泛的是扩展卡尔曼滤波器(Extended Kalman Filter,EKF)[4]。EKF需要通过一阶泰勒级数展开的方法将非线性系统方程进行线性化,因此只适用于弱非线性系统[5]。当系统非线性增强,估计误差增大甚至发散,因此以UKF(Unscented Kalman Filter)[6～9]为代表的确定采样近似方法近年来得到广泛关注,不同于粒子滤波随机采样方法,确定采样型滤波器(Deterministic Sampling Filters,DSFs)通过一组确定采样点对一二阶矩进行近似计算,计算量与EKF相近,估计精度较EKF有较大提升。

另一类研究较多的非线性滤波器是粒子滤波器(Partical Filter,PF)[10],粒子滤波器基于Monte Carlo模拟方法,通过统计采样对经验条件分布进行调整来近似后验概率密度。这种方法尚不成熟,还有很多问题需要解决,如建议分布的选取、采样方法以及计算量大等问题[11]。

在线实时估计对滤波算法的要求是:计算量小、精度高和稳定性好。尽管PF的精度很高,但是由于计算量太大,不适用于在线实时估计。DSFs和EKF相比,计算量相当,DSFs的精度更高。用DSFs取代EKF对非线性系统状态进行实时估计成为滤波理论研究的一个重要方向,而目前关于DSFs的研究多集中在该方法在不同领域的应用,对该方法本身的精度和稳定性的理论研究却较少。

确定采样型滤波器在滤波过程中,采样点的选取对滤波器的精度和稳定性起着决定性作用,对选取的采样点进行优化可以提高滤波效果。

2国内外研究现状

确定采样型滤波器的出现可以追溯到1994年,牛津大学的Julier和Uhlmann[6]从“近似非线性函数的概率密度分布比近似非线性函数本身更容易”这一思路出发,提出通过一组按确定规则选取的采样点对一二阶矩进行拟合来完成一二阶矩的传递。这种被称为UT变换(Unscented Transform)的一二矩计算方法不需要计算雅克比矩阵,而且比一阶泰勒级数展开的线性化具有更高的精度。之后,Julier等对该方法的采样策略进一步完善,提出了多种不同的采样策略,包括对称采样,单形采样[12],3阶矩偏度采样和高斯分布4阶矩对称采样等[13]。随着这一系列的研究,确定采样型滤波器也应运而生。目前学术界主要研究的确定采样型滤波器主要有三种,分别为UKF(Unscented Kalman Filter)、CKF(Cubature Kalman Filter)以及CDKF。

2.1UKF

将UT变换与KF相结合就得到了UKF(Unscented Kalman Filter)。目前,UKF已经在诸多领域得到应用。

UKF的成功应用,吸引了更多学者对UKF算法的理论研究。首先是Julier发现在应用单形采样和对称采样时,UKF在滤波过程中出现非局部效应和协方差阵非正定问题,提出了对采样点进行比例修正的方法[18],该方法提供了三个自由参数来调整采样点到采样中心的距离和权值,但并没有给出参数调整具体方法。

由于选取采样点需要使用协方差矩阵的平方根矩阵,当协方差矩阵出现非正定时,无法获得采样点。为了解决这一问题,Merwe[14]在2001年提出在滤波过程中采用协方差矩阵的平方根矩阵代替协方差矩阵,这种方法避免了滤波过程中对协方差矩阵的分解,但是导致协方差矩阵非正定的因素并没有消除。协方差矩阵出现非正定,主要是因为采样点权值中存在负值,因此Lefebvre[15]在2002年提出增加一个权值为1的中心采样点来增大协方差矩阵从而保证协方差矩阵正定,但是这种方法可能会降低滤波器精度。Xiong[16]在2006年提出通过人为增大系统噪声矩阵增加滤波器的稳定性,这种方法其实就是保证了协方差矩阵的正定性,与Lefebvre的方法是等价的,同样是以牺牲精度为代价提高稳定性。

2.2基于球面径向容积法的CKF

在2009年提出了基于球面径向容积法的CKF(Cubature Kalman Filter)[17]。虽然CKF通过球面径向容积法则获取的采样点可以看作是UKF采样点的特例,但是其获得采样点的方法为实现高精度的采样点提供了理论基础。从数值积分的角度,2011年哥伦比亚大学的Jia[18]提出了减少采样点数目的GHF,随后2012年在此基础上提出的SGQF(Sparse-Grid Quadrature Filter)[19]和2013年提出的高阶CKF[20],提高了滤波器的精度(事实上,两种方法所选取的采样点是相同的)。CKF的提出解决了UKF中出现采样点权值为负的问题,但同时也带来了非局部效应,即采样点离采样中心的距离会随着系统维数的增加而增大,从而限制了CKF在高维系统中的应用。针对这一问题,Chang[21]巧妙地构建了一个正交矩阵,通过对CKF的采样点进行正交变换的方法得到了一组新的采样点,这组采样点离采样中心保持固定的距离,不会随系统维数的改变而变化,由此消除了非局部效应。

2.3CDKF

与UKF提出的目的一样,为了避免雅可比矩阵的计算,Schei[22]在1997年提出基于插值法则的非线性滤波方法,将状态协方差矩阵进行分解后得到的平方根矩阵看作是在状态向量空间各个方向上的扰动,然后通过积分中值定理得到非线性变换后的协方差矩阵的平方根矩阵,从而完成协方差矩阵的传递。这种方法最大的优势就是避免了雅克比矩阵的求解,虽然在精度上并没有多大提升,但是提供了一种解决非线性滤波问题的新思路。2000年,Nørgaard等[23]在此基础上提出了DDF(Divide Difference Filter),采用基于Sterling多项式差值法则的中心差分方法代替Jacobian/Hessian矩阵对非线性函数的泰勒级数展开进行多项式近似;与此同时,Ito提出了基于数值积分近似的CDF(Central Difference Filter)[5]。CDF和DDF的出发点都是对泰勒级数展开式的近似,在本质上是相同的,因此Merwe[24]将其统称为CDKF,并在其博士论文中证明了CDF与DDF的等价关系[25]。

3确定采样滤波器主要采样方法

确定采样型滤波器在非线性高斯滤波框架下通过对一二阶矩近似实现状态估计,滤波过程如下:

2) 状态传递方程:

χi=f(σi)

(1)

(2)

(3)

3) 量测更新方程:

ξi=h(χi)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

目前得到应用广泛的UKF、CDKF和CKF,都是采用这一滤波过程,它们的不同之处在于选取不同的采样点计算一二阶矩。下面对它们的采样方法进行介绍。

3.1UT变换

UKF采用一种被称为UT变换的方法对一二阶矩进行拟合,在1994年牛津大学的Julier和Uhlmann[6]提出该算法的时候并没有详细的理论依据和推导过程,只是出于近似概率分布比近似非线性方程更容易的考虑。随后作者发表了一系列文章对该算法进行完善,在2004年[8]发表的文章中对关于该算法做了完整的总结,建议采用对称采样和比例修正采样。

3.2插值法则

CDKF是Ito[26]提出的CDF和Nørgaard[14]提出的DDF的统称,都是基于多项式函数拟合的方法来计算一二阶矩。

1997由Schei[22]首先提出了采用差分公式来代替EKF中的非线性方程求导,虽然只采用了一阶近似,精度没有提高,但是提供了一条滤波器发展的思路。2000年,Nørgaard在Schei的多项式差值近似基础上,受UKF的启发,提出了DD1和DD2,即DDF。与此同时,Ito从数值积分近似状态后验分布得到了CDF。多项式差值近似和数值积分近似在本质上都是基于多项式函数拟合的思想。

3.3容积法则

对状态后验分布的数值积分近似是非线性滤波器发展的一个重要方向,Arasaratnam在2009年提出的CKF[20]就是基于数值积分的近似方法对一二阶矩进行计算。CKF采用球面径向法则,通过2n个采样点来实现滤波。

4未来的发展趋势

UKF、CKF和CDKF的采样点和一二阶矩的计算中有很多共同点,它们的核心思想可以统一归纳为[27]:首先根据状态先验分布按照一定的规则选取一定数量的采样点;然后将这些采样点经非线性变换后按照一定的规则进行组合来逼近经非线性变换后的状态分布。因此,可以将其统称为确定采样型滤波器。它们的不同之处就在于采样点的选取和组合规则的不同,在处理不同的非线性系统时,会得到不同的结果。通过建立采样点与数值积分节点之间的对应关系,就可以对这一类滤波器进行精度分析,这是确定采样型滤波器未来发展的方向之一。

除了精度比较之外,关于确定采样型滤波器的稳定性的分析也是判断滤波器适用范围的重要依据。目前关于这一类滤波器的稳定性分析的结论主要是在泰勒级数展开线性化条件下得到的,北京航空航天大学的Xiong[16]对UKF稳定性进行了分析,给出了滤波器稳定的条件,由于UKF对初始误差非常敏感,当初始误差较大时,会出现滤波发散,因此提出在协方差矩阵中增加一个正定的误差矩阵,可以降低对初始误差的要求,从而提高UKF的稳定性,但是如果误差矩阵设定过大会导致精度下降。为了保证滤波器的稳定性,需要增大噪声协方差矩阵,Lefebvre[15]指出这种做法会导致滤波收敛速度减慢和精度下降。

要对这一类滤波器进行精度和稳定性分析,必须要建立一个统一的结构。从确定采样型滤波器的推导过程看,滤波器结构可以从不同的角度得出。各种确定采样型滤波器可以通过递推贝叶斯估计得到统一的滤波器结构,文献[5]中,Ito将条件概率密度假设为高斯分布,通过贝叶斯法则建立了高斯滤波器结构,利用对贝叶斯法则的有效数值积分实现了最优的递推滤波,通过滤波增益和量测信息对均值和协方差的预测值进行修正从而得到状态估计值。对于滤波过程中用到的均值和协方差可以通过数值积分的近似方法得到,因此在该结构下确定采样策略与数值积分的结合可以将滤波器精度转化为数值积分的精度问题。

Lefebvre[15]利用统计线性回归的方法推导出了统计线性回归卡尔曼滤波器,并指出UKF和CDKF均属于这种滤波器。Arasaratnam在文献[3]中同样是基于统计线性回归的滤波器结构,采用数值积分的方法计算一二阶矩,得到了QKF。该结构采用的是通过一二阶矩将非线性方程线性化的方法从而直接套用KF的滤波公式。这种结构最大的优点就是可以用关于KF稳定性的成熟理论来分析确定采样型滤波器的稳定性。

目前对于确定采样型滤波器的改进主要是将传统的针对KF和EKF的方法与现有滤波方法的结合,如文献[28]将自适应估计技术和UKF和DDF结合,对滤波过程中的线性化误差以及系统建模误差进行补偿。当前已有文献大都集中于确定采样型滤波的应用研究,理论上还有很多问题有待进一步研究。

5结语

本文主要基于模糊控制理论,对航迹跟踪系统进行研究和设计。设计了基于模糊控制的飞机倾斜姿态控制器,在此基础上,以飞机倾斜姿态控制器为内回路,设计了飞机横侧向航迹跟踪控制器。通过与传统PID控制器比较表明,模糊控制方案无论在稳定性还是控制精度上都有所提高,体现了模糊控制的优越性。通过仿真验证,说明本文设计的系统能够实现对航迹的精确跟踪,该方案是切实可行的。

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中图分类号V488.234

DOI:10.3969/j.issn.1672-9730.2016.01.041

作者简介:刘炜,男,工程师,研究方向:自动控制。杨智勇,男,博士,副教授,研究方向:模式识别。丛源材,男,博士,助理工程师,研究方向:导航制导与控制。刘群杰,男,助理工程师,研究方向:测控技术与仪器。康宇航,男,博士,研究方向:导航制导与控制。

*收稿日期:2015年7月10日,修回日期:2015年8月26日