GDP的增长和稳定问题的简易数学模型

刘云忠

摘 要：运用数学和经济学理论，推得GDP增长和稳定问题的简易数学模型。此数学模型简单实用，可以很好地解释GDP的增长和稳定问题。

关键词：GDP增长;稳定;数学模型

中图分类号：F224        文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2015）22-0005-03

一、GDP的增长问题

国民收入的主要来源是生产，生产的发展促进了国民经济的繁荣。国民收入的开支用于消费资金，投入自生产的积累资金和政府用于公共设施的开支。

假设1：y （t）是t时刻国民收入水平;G （t）是t时刻国民消费水平。G是政府用于公共设施的开支水平，一般认为是常量（在某一时间内）;I （t）是t时刻国家用于投入再生产的投资水平，且有：

Y=C+I+G     （1）

假设2：k是消费系数，可以认为国民消费水平取决于国民收入水平，C=k×Y，k∈（0，1）;s是积累系数，s=1-k。

假设3：是t时刻的需求水平：

其中：h，W为常量。在这种情况下，国家生产水平将出现振荡，当α>0时，生产水平下降，当α<0时，生产水平上升。

综上，（9）式给出了一个国家GDP的增长趋势。

二、GDP的稳定问题

假设1：国民收入主要用于消费，再生产投资和政府用于公共投资的开支。

假设2：设Yk是第k个周期内的国民收入水平，Ck是第k个周期内的消费水平，Ck的值是由前一个周期的国民收入水平确定的。即：

Ck=AYk-1    （10）

其中，A是常数，0<A<1。

假设3：设Ik是第k个周期内用于再生产的投资水平，它取决于消费水平的变化，即：

Ik=B（Ck-Ck-1）    （11）

其中，B是常数，B>0。

假设4：G是政府用于公共设施的开支，设为常量。

根据假设，有Yk=Ck+IK+G         （12）

将（10）式、（11）式代入（12）式，有：

Yk=AYk-1+B（Ck-Ck-1）+G

=AYk-1+BAYk-1-BAYk-2+G

所以，YK-A（1+B）Yk-1+BAYk-2=G   （13）

（13）式是一个递推的差分方程，就可以预推国民收入水平的发展趋势，如果给定Y0，Y1，A，B，G的值，由（13）式可以预推的Y2值。若令K=3，4，5，……，且连续使用（13）式，是可以预推Y3，Y4，Y5……的值。

下面求解（13）式。

取其特解：

很显然，由于0<A<1，B>0，当K→∞时，YK→+∞，国家经济同样出现不稳定局面。